Fig. 4. 
Fig. 2. 
— 112 — 
IL. 
Théorie élémentaire. 
Proposition E. 
Etant donnés le côté AB d’un polygone régulier inscrit et le rayon OA du cercle, 
calculer l’apothème OC. 
Soient AB— a, OA=R, OC=7. 
L’apothème est perpendiculaire sur le milieu du côté, donc AC =# a. 
Le triangle OAC est rectangle , donc on a 
OC 04 — 1€, 
2 
ou = \/n 5 [1] 
Proposition HE. 
ce qui résout le problème. 
Etant donnés l’apothème d’un polygone réqulier inscrit, et le rayon du cercle, calculer 
l’apothème d’un polygone régulier inscrit d’un nombre de côtés double. 
Soit AB le côté du polygone donné, OC l’apothème que je prolonge jusqu’à la rencontre 
de la circonférence en D, AD sera le côté du polygone régulier inscrit d’un nombre de 
cotés double, soit OH son apothème perpendiculaire sur le milieu de AD. À 
Prolongeons le rayon OD du côté opposé jusqu’à la rencontre de la circonférence en E 
et joignons AE. La ligne ED étant un diamètre, l’angle EAD est droit par suite AE paral- 
lèle à OH et les triangles EAD, OHD sont semblables. 
De la proportionnalité des côtés homologues , il résulte que ED étant le double de OD, 
AE est le double de OH. 
Soient donc OE=R, OC=7, OH =; ; 
il résulte de ce qui précède que l’on a 
ED—9R, EA —97r;, EC=R+7. 
Dans le triangle rectangle EAD , CA étant perpendiculaire sur l’hypothénuse, on a 
EA°— ED x EC, 
ou: 4 =92R(R+r); 
d’où l’on tire : 
A 
19 
(es 
ce qui résout le problème. 
