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Proposition EE. 
Etant donnés le périmètre d'un polygone régulier inscrit et le rayon du cercle, trouver 
Le périmètre du polygone régulier inscrit d’un nombre de côtés double. 
Soient les mêmes désignations que dans la proposition précédente : Considérons les deux 
triangles ACD et OHD. Ges deux triangles sont rectangles et ont l’angle D commun , donc 
ils sont semblables et l’on a 
AC + OH 7; ; 
Appelons P le périmètre du polygone donné, et P, celui du polygone d’un nombre de côtés 
double, ces périmètres sont dans le même rapport que AD et AC, donc par suite de 
l'égalité qui précède, on a 
P,_R. 3 
P — 7 » [ ] 
d’où l’on déduit : 
P: =? — 
T1 
Le polygone dont le périmètre est donné, étant considéré comme un polygone régulier 
déterminé, la longueur de ses côtés est aussi donnée et la formule qui précède jointe aux 
formules connues (1) et (2) résout le problème. 
Proposition EV. 
Etant donnés le périmètre d’un polygone régulier inscrit et le rayon du cercle, calculer 
le périmetre de l’un quelconque des polygones réguliers inscrits formés en doublant succes- 
sivement le nombre des côtés du prenuer. 
Désignons par P, P:, PA . . . . . . P, les périmètres des polygones successifs inscrits, 
MAP Ta US <a » 7» , leurs apothèmes. 
La relation de deux quelconques des polygones consécutifs est déterminée par la formule 
(3), en écrivant successivement ces relations à partir du polygone;P, ; on a 
R 
PPS 
T1 
R 
P;:—P: at) 
Te 
R 
Ps; = P; = 1 
T3 
R 
Bi Pa Fe 
T 
L'ordre de déduction de ces égalités est facile à saisir, le premier membre de la première 
équation se trouve facteur dans le second terme de la seconde, le premier membre de 
celle-ci, facteur dans la troisième, et ainsi de suite, jusqu’à la dernière. 
Fig. 2. 
