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La seconde formule donne ensuite le calcul des apothèmes successifs que l’on devra 
continuer jusqu’à l’apothème qui correspond à l’approximation fixée. 
L'erreur géométrique commise en prenant l’un des polygones P, pour la circonférence, 
est moindre que 
Le à L LE 
8 (——= ) et, à plus forte raison que 10 ( Des )- 
On reconnaît facilement, qu’en doublant successivement le nombre des côtés des polygones, 
on peut parvenir à un apothème qui diffère du rayon du cercle, c’est-à-dire dans ce cas 
de l’unité, de moins qu’une grandeur donnée. Supposons que , ne diffère de l'unité que 
par une unité décimale de l’ordre p, on peut dans l'expression de la limite de l'erreur 
substituer l’unité au dénominateur sans que les chiffres de l’ordre décimal considéré en 
soient affectés. On a alors pour la limite de l'erreur l'expression 
10 (1—7r, ). 
Il en résulte que : 
Si l’on veut obtenir le rapport de la circonférence au diamètre avec un certain nombre de 
décimales, il suffira de calculer les apothèmes successifs jusqu’à ce que l’on parvienne à une 
valeur, ne différant de l’unité que par un chiffre décimal de l’ordre immédiatement supérieur 
à celui que l’on veut obtenir. 
On calculera ensuite le périmètre correspondant, à l’aide de la 3% formule, le nombre 
trouvé sera égal à 2 x. 
Le polygone final P, étant donné, non-seulement par r,, mais bien en fonction du pro- 
duit de tous les apothèmes, il convient de considérer l’approximation arithmétique quant à 
ce mode de calcul. 
Soit en général à multiplier l’une par l’autre deux quantités a + a!, b + b', dans lesquelles 
a' et D’ représentent les quantités que l’on néglige; l'erreur sera 
a'b+b'(a+ a). 
Dans le cas particulier que nous examinons a + a’ et b sont l’un et l’autre plus petits que 
l'unité, donc l'erreur sera moindre que 
: asbl 
Supposons ri 7: .….r, Calculés avec S chiffres décimaux ; en prenant pour unité, l'unité 
décimale de cet ordre, on aura dans le premier produit & < 4, b' < 1, et par suite l'erreur 
sur le produit sera moindre que 2. Si en outre on ne conserve dans ce produit que les chiffres 
décimaux de l’ordre S, on commet une erreur qui est moindre que l’unité; par conséquent, 
dans le second produit on a & < 3, b' <1 et l'erreur moindre que 4. Ainsi dans chaque 
nouveau produit il s’introduit une erreur moindre que 2; savoir : une unité de la partie né- 
gligée du produit antérieur, et une unité de la partie négligée du nouveau facteur. De la 
sorte m étant le nombre de facteurs et par suite m—1 le nombre de multiplications a opé- 
rer, l'erreur sur le produit final sera moindre que 
2 (m—1) 
unités décimales de l’ordre S. 
Si donc le nombre de facteurs n’est pas au-dessus de 51, l'erreur finale sera moindre que 
100, c’est-à-dire qu’elle ne portera que sur les deux derniers chiffres décimaux. 
D'où il résultera que, dans cette limite, si l’on veut obtenir le nombre + avec p, chiffres dé- 
À ir cdi tant ae 
