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cimaux, il sera suffisant de calculer tous les apothèmes avec p +2, chiffres décimaux, et de 
maintenir constamment les calculs dans cet ordre d’approximation. 
11 nous reste maintenant à faire connaître le mode de simplification du calcul des apothèmes. 
Lorsque le calcul a conduit pour l’apothème à une valeur telle que la différence avec l’u- 
nité ne porte que sur la dernière moitié des chiffres décimaux cherchés, on peut, à la formule 
exacte, substituer, sans erreur, une formule plus simple. 
On sait, en effet, que 1 —« étant un nombre qui satisfait à la condition énoncée, on peut 
prendre pebrun:s 
EE ET 
sans que l'erreur porte sur l’ordre décimal que l’on considère, puisque l'erreur sur la puis- 
sance est + æ. 
1 à Ur : 
Soit donc & un tel apothème Et sera plus près de l'unité que e et, par suite, on pourra 
appliquer la formule d’approximation. Or, on à 
CE RE ot 
2 
et par suite pour l’apothème suivant : 
, DES À — 06 PE, 
3 + 
d’où enfin : ge — _. 
Telle est la formule qui, dans les conditions indiquées, pourra être employée pour le calcul 
des apothèmes, jusqu’à la fin de l’opération. 
Au lieu de déterminer le rapport de la circonférence au diamètre, par la considération des 
périmètres des polygones, on peut le calculer par les surfaces de ces mêmes polygones. 
On sait, en effet, d’après le théorème de la mesure du cercle, que la surface d’un cercle 
dont le rayon est R, est égale à 7 R?, et ainsi le rapport 7 est égal au nombre qui exprime la 
surface du cercle dont le rayon est pris pour unité : plus généralement, si l’on suppose 
connue la surface d’un cercle dont le rayon est donné, on obtiendra le nombre + en divisant 
cette surface par le carré du rayon. 
Posé de cette manière, le problème se résout par des propositions analogues à celles qui 
précèdent. 
Proposition WE. 
Etant donnée la surface d'un polygone régulier inscrit, trouver la surface de Fun quel- 
conque des polygones réguliers inscrits formés en doublant successivement le nombre des 
côtes du premier. 
Considérons en premier lieu le polygone donné et celui d’un nombre de côtés double : soit 
AB le côté du premier, et AD celui du second, les surfaces de ces polygones sont, entre elles, 
comme les surfaces des triangles OAG, OAD, et les triangles ayant même hauteur, leurs sur- 
faces sont entre elles comme les bases OC, OD; or, OD est le rayon du cercle et OC l’apo- 
thème du polygone donné. 
Fig. 4. 
