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Si donc nous représentons par S et S, les surfaces des deux polygones , nous aurons 
Si  R 
Actuellement désignant par S, la surface du polygone dont l’apothème est r,, on déduira 
de la même manière que pour les périmètres, la relation 
Sn = S ARE PTT [6] 
V Ty Tottorne vote ° Tn-1 
Le calcul des apothèmes successifs, se faisant de la même manière que pour les périmètres, 
cette formule résout le problème. 
Le calcul du rapport de la circonférence au diamètre par les surfaces, se fera donc d’une 
manière entièrement analogue au calcul par les périmètres au moyen de la formule précé- 
dente. D’après ce qui a été déjà exposé, ce calcul ne donne lieu à aucune considération 
nouvelle. 
L'examen des formules (4) et (6) indique que les deux méthodes ne diffèrent pas essen- 
tiellement, et il est facile de passer de l’une à l’autre. 
S étant la surface du polygone dont le périmètre est P et l’apothème r, on a 
on aura de même | 
Sn = LHC M 
2 
En substituant ces deux valeurs dans la formule (6), elle se réduit identiquement à la for- 
mule (4). 
Dans tout ce qui précède, nous n’avons considéré que des polygones réguliers, dont un 
seul côté a suffi pour établir les relations élémentaires que nous avons obtenues. Mais les rai- 
sonnements que nous avons faits, et par suite les formules qui en sont déduites, sont indé- 
pendantes de ce que le côté considéré fait partie d’un polygone régulier ou non. On peut 
donc appliquer à la mesure d’un arc quelconque, moindre que la demi circonférence, les 
mêmes formules dans lesquelles au lieu de la longueur du polygone régulier initial, on pren 
dra la corde qui soustend cet arc. 
IT. 
Diversité des méthodes élémentaires. — Unité des resultats. 
En procédant d’une manière directe, c’est-à-dire en prenant pour point de vépart l'élé- 
ment le plus simple, le rayon; le problème de la mesure approximative du cercle consiste à 
déterminer, au moyen de ce rayon , un polygone qui diffère d'aussi peu qu'on le voudra de 
PRO 
