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a circonférence ; si l’on introduit, en outre, comme élément essentiel du problème, la déter- 
mination de l'erreur que l’on commet, en prenant ce polygone pour la circonférence, il sera 
nécessaire de considérer un second polygone tel que la circonférence cherchée soit comprise 
entre les deux; en un mot, deux polygones, l’un inscrit et l’autre circonscrit à la cir- 
conférence. 
Nous nommons méthode élémentaire celle qui se base pour la détermination successive des 
résultats, sur des constructions géométriques les plus simples, au moyen de la ligne droite et 
du cercle. Le passage d’un polygone à un autre, qui diffère moins de la circonférence, se fera 
par la division des arcs en deux. 
Telles sont les conditions du problème, et leur considération se trouve ainsi inhérente à 
toute méthode élémentaire de la mesure du cercle. 
Il en ressort immédiatement la diversité, quant aux moyens de résolution. La recherche 
pouvant être faite par les périmètres, ou par les surfaces, il suffit de considérer le problème 
relativement aux premiers; à chaque cas de l’un correspondra un cas identique pour l’autre. 
Prenant le rayon pour point de départ, on peut se proposer de calculer directement cha- 
cun des polygones inscrits et circonscrits, dont le nombre de côtés va constamment en dou- 
blant jusqu'aux polygones, dont l’un est pris pour la circonférence; c’est la méthode la plus 
directe qu’il soit possible de concevoir : nous la nommerons simplement Méthode directe. 
On prend ordinairement comme donnés, dans cette méthode, deux polygones semblables 
connus, l’un inscrit et l’autre circonscrit. 
Prenant, comme précédemment, le rayon pour point de départ, on peut, au lieu de 
calculer directement les polygones, se proposer de calculer les Eléments qui les déterminent, 
ei de combiner ensuite ces derniers pour obtenir le résultat final. 
Ces éléments sont les apothèmes et les côtés; les premiers sont ceux dont la relation avec 
ces polygones est la plus simple. Le résultat s'obtient sans passer par les polygones successifs 
et l’on calcule directement le polygone final inscrit dont la détermination seule est néces- 
saire; c’est la méthode que nous avons exposée : nous la nommerons méthode des A pothèmes. 
Au lieu de procéder en prenant l’élément le plus simple comme point de départ, on peut 
procéder d’une manière inverse en se donnant comme connu le composé, c’est-à-dire le po- 
lygone final, et se proposer de calculer le rayon qui lui correspond; on opère, dans ce cas , 
de la manière suivante : ù 
On part d’un polygone connu , du carré, par exemple ; le côté de ce carré étant pris pour 
unité, le périmètre sera 4. Il s’agit de calculer le rayon et l’apothème d’un polygone d’un 
nombre de côtés double, de même périmètre que le premier. De l’octogone on passera au 
polygone isopérimétrique d’un nombre de côtés double, et ainsi de suite successivement. 
Soit, en général R, et p, le rayon et l’apothème d’un de ces polygones. Les circonfé- 
rences décrites avec R, et seront, l’une plus grande et l’autre plus petite que le péri- 
mètre 4; le rayon de la circonférence égale à 4 est donc compris entre R, et pe, et si l’on 
pousse les calculs de manière que ces deux lignes ne diffèrent que hors des limites de l’ap- 
proximation donnée, l’une d’elles pourra être prise pour le rayon de la circonférence : ainsi 
4 
le rapport cherché sera == 
le rap} TK. 
