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Cette méthode est connue sous le nom de méthode des isopérimètres. 
En tant qu’elle s'applique également aux surfaces , on peut la désigner sous le nom de 
méthode isométrique ; ou plus convenablement de méthode inverse. 
Comme méthode inverse, elle ne comporte pas de dualité. En effet, les polygones suc- 
cessifs sont ici connus par la nature même de la question. Le but des calculs est la re- 
cherche des éléments de ces polygones qui ne peuvent être que les apothèmes et les rayons, 
les côtés étant immédiatement donnés dans chaque cas. 
Il résulte de cet examen que les méthodes élémentaires de résolutions pour le problème 
de la mesure du cercle se réduisent fondamentalement à trois, lesquelles se subdivisent 
chacune en deux, comprenant, l’une la recherche par les périmètres, l’autre la re- 
cherche par les surfaces. 
Déduction des formules. 
Les formules générales (1), (2) et (3) que nous avons obtenues contiennent toutes les con- 
ditions du problème, sous la forme la plus simple et permettent de déduire les formules par- 
ticulières pour tous les cas possibles, sans de nouvelles constructions géométriques spéciales. 
Le principe uniforme de cette déduction est facile à établir ; il s’agit toujours, en effet, 
d'obtenir les relations qui permettent de passer d’un polygone connu, à un polygone d’un 
nombre de côtés double. 
Pour cela, prenant pour terme de comparaison un cercle de rayon invariable donné par 
la question, on établira deux relations entre deux polygones consécutifs inscrits dans ce 
cercle; on posera ensuite deux autres relations proportionnelles dépendant des propriétés des 
polygones semblables : en tout, quatre relations entre lesquelles on pourra éliminer les quan- 
tités auxiliaires au nombre de deux, et obtenir ainsi les deux relations cherchées. 
Ce mode de procéder est particulièrement applicable dans la méthode isométrique et dans 
la méthode directe, pour lesquelles deux grandeurs sont données et deux à déterminer; dans 
ces deux cas, les relations du cercle de comparaison sont les formules (2) et (3); cette der- 
nière étant remplacée par la formule (5), lorsque la recherche à lieu par les surfaces. 
L'élimination peut toujours être faite avec simplicité et rapportée aux égalités pro- 
portionnelles ; c’est-à-dire aux proportions géométriques et aux propriétés qui en dépendent. 
Il nous suffira de donner la déduction des formules pour la méthode des isopérimètres. 
Méthode des Esopérimètres. 
Etant donnés le rayon R et l’apothème r d’un polygone régulier, calculer le rayon Rs 
et l’apothème +, d’un polygone régulier isopérimétrique d’un nombre de côtés double. 
Soit P le périmètre du polygone donné, construisons dans le cercle de même rayon un 
polygone régulier d'un nombre de côtés double, on aura d’après la formule [ 3 ] 
PIeR 
Soit p le polygone d’un nombre de côtés égal à P, et inscrit dans le cercle dont le rayon 
