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P 
est R,, P, et p sont semblables et le rapport "5 de leurs périmètres est égal à celui de 
R s î D Se 
leurs rayons —, mais p est isopérimétrique à P ; donc : 
1 
P, R 
Des formules (8) et (9) on déduit 
R 
nens\/ 0 [10] 
Les apothèmes », et r, sont proportionnels aux rayons, on aura donc : 
Bu _ 
PO TRUE 
d’où Œ} 
Rn R: R+r 
= © = —— = 411 
P1 R R 9 [ ] 
Les formules (10) et (11) résolvent le problème. 
Au point de vue de l’approximation les diverses méthodes élémentaires sont soumises à une 
même condition fondamentale ; savoir qu’une approximation déterminée du rapport cherché, 
correspond toujours au même polygone final, en supposant qu’on soit parti chaque fois du 
même polygone initial. 
Cela est évident de soi, puisque l’approximation dépend uniquement de la différence entre 
la circonférence et le polygone qui est pris pour elle. 
Il est facile aussi de reconnaître que le résulat d’une de ces méthodes peut être trans- 
formé en celui d’une autre en prenant les mêmes données dans les deux cas. Considérons 
par exemple la méthode des apothèmes et celle des isopérimètres. 
Soient en général, R, et 4, le rayon et l’apothème d’un des polygones successifs isopéri- 
métriques , on a d’après (11) 
FR, 
Ra 
Soit r, l’apothème du polygone semblable au polygone isopérimétrique considéré, dans le 
cercle dont le rayon est constant , et pour plus de simplicité , pris pour unité. Les apothèmes 
de ces polygones semblables sont proportionnels aux rayons, et l’on a 
ên — 
r. 4 
Pn d. R; À 
D'où ayant égard à l’équation précédente , on déduit : 
2 7 Es en. ne R;: 
Ra Riu F 
On aura donc la série d'équations : 
r mi 
AUS n ; 
DR 
R, » 
. Rs 
D R, , 
