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essentielle est de déterminer les propriétés d’un objet, par la considération d’un objet con- 
traire ; c’est-à-dire dont la notion ne peut être contenue dans la même expression logique 
que le premier. L'évolution de cette méthode dans les mathématiques a successivement cons- 
titué les-méthodes d’exhaustion, des limites et du calcul infinitésimal qui, au fond, ne 
sont que la même méthode parvenue dans la dernière à son expression la plus élevée et, 
pour ainsi dire , identique. 
Considéré dans la question que nous examinons, nous énonçons ce principe d’une autre 
manière, en disant que la détermination de la longueur d’une courbe, en général, par 
rapport à celle d’une ligne droite, se base essentiellement , en tant que méthode exacte, 
sur la proposition que la courbe est la limite des polygones soit inscrits, soit circonscrits, 
lorsque les longueurs des côtés décroissent indéfiniment et sur la considération directe 
du polygone ou de son élément infinitésimal. 
En ce qui concerne le cercle , la nature spéciale de cette courbe se prête plus facilement 
que dans tout autre cas, à la considération directe du polygone variable, et ainsi, la 
détermination reste géométrique sans rien perdre de son caractère de généralité. 
Les relations élémentaires qui sont à considérer dans ce cas, se rapportent à cette propriété 
du cercle, de former une courbe homogène dont toutes les parties sont superposables les 
unes aux autres et peuvent être ainsi directement comparées entr'elles, quant à leur 
longueur. 
Sans établir immédiatement une relation entre la longueur de l'arc et celle des lignes qui 
le déterminent géométriquement de la manière la plus simple, on pose les éléments d’une 
pareille solution, par les relations qui peuvent être établies entre les rapports de longueur 
de ces arcs et ceux de leurs lignes trigonométriques. 
Les relations élémentaires qui sont la base logique de toutes les propriétés du cercle ainsi 
considéré, sont, comme on sait, les suivantes : 
sin. (a + b) —sin. a cos. b + sin. b cos. a F 
cos. (ab) — cos. a cos. b — sin. a sin. b | (15 
Le problème de la mesure des arcs, d’après le principe d’Archimède, est indépendant de 
la régularité des polygones considérés, et ainsi en faisant préalablement abstraction de la dif- 
ficulié des calculs, on peut considérer un polygone dont les côtés soustendent des arcs quel- 
conques a, b, c, d....….. en faisant seulement décroître indéfiniment chacun de ces ares 
d’une manière entièrement arbitraire. 
Les formules (1) renferment les éléments nécessaires à la résolution du problème ainsi posé ; 
mais il est facile de reconnaître que l'inégalité supposée des divers arcs introduit dans la ques- 
tion une complication inutile par la multiplicité des éléments qui doivent être considérés; or, 
cette complication peut être réduite de la manière la plus simple, sans nuire à la généralité 
de la solution , en supposant égaux tous les côtés du polygone variable, ce qui réduit à un seul 
l'élément variable du problème, savoir le nombre des côtés du polygone inscrit dans l'arc con- 
sidéré. L’arc étant z et m le nombre de côtés du polygone variable à un moment donné, 
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l'arc soustendu par chacun de ses côtés, sera —. 
m 
