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Les éléments de la question deviennent ainsi dépendants de la relation entre les lignes tri- 
“A 
gonométriques des arcs x et = 
Les formules qui concernent les arcs multiples, dans le cas le plus général, sont impliquées 
dans les formules (1). Le moyen le plus simple d’en faire la déduction est donné par la mé- 
thode de Moivre dont le résultat s'écrit de la manière suivante : 
cos. mx + ÿ— 1 sin. mx — (cos. x + ÿ— 1 sin. æ)”. [2] 
m étant un nombre entier quelconque ; expression dont le sens est seulement tel que si l’on 
développe le second membre d’après la formule du binome il y aura identité entre les deux 
membres de l'expression, c’est-à-dire égalité des parties réelles entre elles, et égalité des 
coefficients du signe imaginaire, ce que résout la transformation proposée. 
De la formule (2) il résulte identiquement 
Dir AT RE PT ET se 
(cos. + = 1 sin. ST) — COS..T + y— 41 sin. x. [3] 
t étant un nombre entier. 
En donnant à ? toutes les valeurs entières et positives, depuis o jusqu’à m— À, on aura m 
expressions différentes, qui toutes satisferont à la formule (3) et seront les seules à y satisfaire. 
D'où il suit que toute expression qui satisfera à la même condition , sera identique à l’une 
de ces m expressions. 
ri 
On sait que si l’on développe (a+ x) " suivant la formule du binome, on obtiendra une 
e Zz plie r 4 Ca “ . 
expression convergente dans le cas de — < 1 et dont la valeur numérique élevée à la puis- 
a 
sance m donnera a + z. De cette condition il résulte que l’expression elle-même élevée à la 
puissance m reproduira identiquement a +2 ou a ( A + =) en faisant abstraction des puis- 
Z 4e Sr 5 : 
sances de — aussi élevées qu’on le voudra. D'où il suit que les mêmes choses ne cesseront 
a 
pas d’avoir lieu lorsque, dans les mêmes limites numériques, à la place de 3 on substituera 
sin. æ 
< 1 et que l’on développe 
cos. æ { PP 
z ÿ— 1. Si donc l’on suppose 
1 
(cos. æ + ÿ— 1 sin. z)" 
d’après la même formule, l'expression obtenue substituée dans le premier membre de (3), 
satisfera à cette relation. On peut donc poser d’après ce qui précède : 
Dir 
Dir + x RS Os bre 
AS NE SO 
4 
cos — (cos. YA sin. x)" [4] 
dans laquelle : représente un nombre à déterminer, et le second membre le dévelonpement de 
l'expression suivant la formule du binome. 
L'expression (4) donnera, sous une forme indéfinie, les formules relatives à la division 
des arcs. 
