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On remarquera que les formules (2) et (4) peuvent être déduites l’une de l’autre en écrivant 
1 ÿ ; : D RE Vire Fee : 
— à la place de m, et 2ir + x au lieu de æ, ce qui revient à dire que si l’on fait de telles 
m 
substitutions dans les formules réelles déduites de l'expression (2), en développant la succes- 
sion des termes d’après la même loi, on obtiendra d’autres relations réelles ; m étant dans tous 
les cas un nombre entier. 
Cela posé, formulons l'expression générale du principe d’Archimède : 
MUR ur DT gd LT sé 
2 sin. à est la corde que soustend l'arc S et par suite m x 2 sin. est le périmètre de 
la figure équilatère de m côtés inscrite dans l’arc m x m2. Mais ce polygone, lorsque 
m” augmente indéfiniment, a pour limite l’arc 2x. Donc : 
9m sin. Re a pour limite 2r, 
e ZT 
ou — lim. (m sin. —). 
m 
Telle est l'expression de ce principe appliqué aux figures inscrites. L'expression du même 
principe considéré, quant aux figures circonscrites , est 
lim. (m ta x ) 
ZT = M. (72 lang. — |}. 
ë m 
Sous sa forme finie 
RD 
m Sin. —, 
m 
lorsque m est pair, est le périmètre de la figure équilatère de 5 côtés inscrite dans l’arc x, et 
be] 
m tang. nm 
Ss PE L'ILE : : , RS 
le périmètre de la figure équilatère de g côtés circonscrite à l’arc æ, les deux demi-côtés 
extrêmes étant comptés pour un seul. 
Les formules réelles qui se déduisent de l'expression (2) sont les suivantes : 
ne m (m—1) nee 2 m (mA) (m—2) (m—3) ne 
COS. MX —COS. L — -———— COS. Z Sin. T+ Ds 7 COS. 2 sin. æ—......[5] 
412 Pme ere 
m mie m (mA) (m—2) RS 5 m (m1) (m—2) (m—3) (m—1) DER 
om x Sin. z+: GT T EN GIE COS. æ Sin. z—....[6] 
} SE pi 2 D > 
| Considérons la première. Changeons æ en — et mettant cos. — en facteur, nous aurons : 
m m 
Dr 
2 4 
d'a £ m (m—1) * ZT m (m1) (m—2) (m—3) RE 
| cos. æ — cos. ere RE a dd serrenio Ds 7 Het 
Nous que écrire cette formule de manière à obtenir l'expression du périmètre circon- 
SCrit m tang. + elle prend alors la forme suivante : 
| nm æ A 
ne = (: Le ONE à) (a 7 )( as jee) | n'a 
on | PET ea m m M) Je 3% 
