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Sous cette forme, cette formule est l'équation du périmètre polygonal (m tang. —) et 
m 
comme cette équation est exacte quel que soit ”, elle le sera à la limite; or comme la li- 
5 La 5 : 5 € 4 : : 
mite de m tang. — est l’arc æ, il suit que nous obtiendrons l'équation de cet arc en déter- 
m 
minant la limite de l’équation du périmètre. 
Considérons seulement le développement qui contient me tang. —. 
m 
En preaant successivement les limites des premiers termes de la série (7) on forme la série 
suivante : 
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mor onotylon Pen ses xe 6 oral ans 1er: RÉ ME | 
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que nous supposons continuée indéfiniment d’après la même loi. 
Je dis que la série (8) est la limite de l’équation (7). 
Il résulte de l’examen de la série (8) qu’elle est convergente pour une valeur quelconque 
de æ, et que la valeur de la série entière est comprise entre les sommes que l’on forme des 
premiers termes, en s’arrêlant à deux termes consécutifs quelconques, à partir du terme où 
tous les autres vont en décroissant. 
Le terme dont l’exposant est » dans l’équation (7) est : 
(at) rule) Css 
m m AI TNT 
et il en résulte que ce terme a pour limite le terme correspondant de la série (8), lorsque m 
augmente indéfiniment. 
D'où il suit que la somme de tous les termes de l’équation (7), depuis le premier jusqu’au 
terme (x), peut différer d’aussi peu qu’on le voudra de la somme des termes correspondants 
de la série (8), quelque soit ». 
Mais dans la série (7) le rapport d’un terme au suivant, est : 
(a—=)( isa) (en tang. À) 
le m (n+Li)(n+2) 
m lang © étant au-dessous d’une valeur finie, déterminée, on peut toujours prendre # assez 
(m tang ©)? 
(n+1) (n+2) 
port total. De plus tous les facteurs de ce rapport allant en diminuant lorsqu'on passe d’un 
terme au suivant, il suit qu’à partir du terme considéré tous les autres iront en diminuant 
jusqu’au dernier, et comme ils sont alternativement positifs et négatifs, il suit que la valeur 
totale de la série sera comprise entre les sommes faites, en s’arrêtant à deux termes consé- 
cutifs quelconques. 
grand pour que soit plus petit que l’unité, donc, à plus forte raison, le rap- 
Il en résulte qu’on peut, dans la série finie, par l'augmentation indéfinie de m prendre » 
assez grand pour que la valeur entière de la série soit comprise entre les deux sommes faites 
en Ss’arrêtant au terme (7) et au suivant; en même temps pour que la somme des termes 
correspondant dans les deux séries, soit moindre qu’une grandeur donnée , et enfin pour que 
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