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la différence entre les deux sommes de la série indéfinie, entre lesquelles la valeur entière de 
chacune des deux séries est comprise, soit aussi moindre qu’une grandeur donnée. 
D'où il suit que la différence entre la série finie et la série indéfinie, peut devenir 
moindre que toute grandeur donnée : donc la seconde est la limite de la première. 
= FE = m x re M x 
Il reste à considérer la limite de cos. —ona d’un côté cos. Rats 4, de plus trans- 
formant cos. . en fonction du sinus de l’arc sous double, et sachant que & étant une 
quantité plus petite que l’unité, on a : 
A—a)" > 1— ma; 
on aura : 
( cos. 2) =(1 sin. 2)" PL Lo sin. à 
1 (2 ne ) Hs 
ou — ( 2m sin. — }) sin. — 
£ 2m 2m 
Or2msin. = ayant pour limite l’arc x et sin. _ ayant zéro pour limite, il suit que le 
second membre de l'inégalité a, pour limite 1, donc on a aussi 
L2 
lim. Cos. ” © =1. 
m 
On a donc finalement à la limite 
He ga DS 
COS, D À — © + 2 "+... RATS 
So. FROM ON OT OUR [9] 
En considérant la relation (8) et la soumettant à la même série de raisonnements, on ob- g,;mues 
tiendra l'équation Ne 
xÿ x x! 
D, LL — © + —_—— _—_—————2ÎQ 2 ——— 10 
perd Mon. S 1,9. 4.9.6. 7 7 
D'après ce qui précède ces deux relations constituent les équations de l’arc, chacune en 
fonctions de l’une des coordonnées rectilignes. 
Au point de vue numérique, elles donnent le sinus et cosinus de l'arc, c’est-à-dire ses 
coordonnées rectilignes en fonction explicite de la grandeur de cet arc et permettent de cal- 
culer les premiers avec une approximation indéfinie, lorsque la seconde est donnée. 
La question inverse correspond à la résolution de l’une de ces équations; pour y parvenir, 
é de Abe : : 
substituant, d’après les conditions précédemment établies, — à la place de m et 2ir + x à la 
m 
place de x, dans la formule (6) nous obtenons : 
,. 
Mir Le m 1 CG) Gr) 
sin. = COS. Z | — tang. x — tang. $z +......|, 
m | m 
et en multipliant par "#1 : 
L 1 1 
_ rte m Gt) Gi?) rang. a | 
in Sin. COS. x tang. æ — SD DATA TENTE TT arf 
