Formule 
de Leibniz 
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Passant aux limites, d’après les considérations précédentes en remarquant que cos. mx 
a pour limite l'unité, on a : 
tang. æ  tang. 5x  tang. x 
Dir 4 LT —= MAT ee gt UT FAST Rs ÉreReE 
Si dans cette égalité on fait x—0, le second membre se réduit à zéro , et par suite on a : 
Dix — 0 ou 1—0; 
ce qui donne sous une autre forme de désignation : 
DZ RTE ZT 
arc (ang. 5=-——+——— +... BAR con at 
HS TON EAN SE CIE] 
expression qui ne constitue qu’une formule d’approximation dans les limites que nous 
avons indiquées. 
Cette série donne pour tang. x — 1 
ie mot PU DE TE 
re ele OT IE SIN NO ann 
La formule (11) permet de calculer un arc lorsqu'une quelconque de ses lignes.trigono- 
métriques est donnée, il suffit, en effet, de calculer préalablement sa tangente en fonction de 
cette ligne trigonométrique. 
Toutefois, on peut se proposer de trouver une expression qui donne l’arc x au moyen de 
puissances entières d’une de ses lignes trigonométriques , la question constitue alors une 
simple transformation de calcul indépendante de toute considération géométrique ; nous 
exposerons ce calcul pour le sinus. 
sin. æ 
Si l’on remplace la tangente par sa valeur en fonction du sinus qui est ne 
ne) 1170 
le terme général du développement (11) pourra s’écrire ainsi : 
À m J m 
— sin. æ(Â—sin. x) 2 ; 
m 
ou, pour plus de simplicité désignant sin. x par 2. Ù 
À m m 
—z (A— 23?) 2. 
m 
m 
Développant (1 — z°) — 2 suivant la formule du binome le terme de rang uw + 1 dans 
ce développement sera : 
(+1) (+2)... (+1) Qu 
ADS Se rt au FT 
et, par suite, correspond à un terme z 2 dans le développement total, en sorte 
qu’on a pour l'expression de ce terme 
(241) LL 2). PAR 2 (5 +e—1) z +2 
A FD ETS RON ee + à sl er 
Comme dans le développement (11), les exposants sont tous impairs, il résulte de cette ex- 
pression qu’il en sera de même dans ce cas. 
