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Détermination spéciale de x. 
Mais il en est tout autrement, si l’on considère x en tant que grandeur impliquée dans 
la totalité des déterminations relatives à la mesure des arcs. À ce point de vue, x n’a qu’une 
seule détermination et nous nous proposons de la formuler. 
Nous procéderons d’une manière analogue au cas précédent, c’est-à-dire nous considérerons 
préalablement les équations finies. 
Faisons dans (5) et (6) cos. m x — 0 et sin m x'—0. Les seconds membres seront divisibles 
l’un par cos. x l’autre par sin æ'; séparant ces facteurs nous aurons 
m — À m m — À m — 3 S 2 
O— cos. mr — cos. x ne COS: D IMSINNE NE renal 
mMm—A m— 1 m — M — 3 2 
0 = sin. ma = cos. De 3 )( 3 hs DÉSIR EE. cb 
Soit m impair et égal à 2 4 +14. Substituant dans (A) 1 — sin. ?x à cos. ? x, nous 
aurons uneéquation qui ne renfermera que des puissances entières et paires de sin æ et qui sera 
de degré 2 k. Cette équation jointe à l'équation cos. z = 0 qui provient du facteur retranché 
donnera les sinus des arcs qui sont la m°"° partie de tous ceux qui ont zéro pour cosinus , 
Di+AÂ x 
c’est-à-dire qui sont compris dans la formule ——— 5: 
mn “ 
Si dans l’équation (B) nous substituons de même 1 — sin.? æ' à cos.? x’, nous aurons une 
équation de degré 2 # en sin. x’ et qui ne renfermera que des puissances paires de l’inconnue. 
Les racines de cette équation seront les sinus des arcs qui sont la m°"* partie de tous ceux qui 
ont zéro pour sinus, arcs compris dans la formule = = à l'exception de 2 —0 qui corres- 
pond au facteur retranché. 
Nous chercherons le rapport du produit des racines des deux équations. Il suffit de 
déterminer dans l’une et dans l’autre le coefficient du terme sin. ?* x et le terme constant. 
2k—n 
Soit N cos. x sin. * æ un terme quelconque de l’une des équations (A) et (B), 
1 
en substituant à cos. x sa valeur (1— sin. ? x)”. Ce terme deviendra 
2k—n 
N ( — sin. x) .? sin. "zx 
et l’on reconnaît que son développement donnera un seul terme en sin. ?*æ, dont le 
coefficient sera égal et de signe contraire à N; d’où il suit que dans l’une et l’autre équa- 
tion, le terme du degré 2% aura pour coefficient la somme algébrique des coefficients 
successifs des développements (A) et (B). Ces termes d’après la loi de leur formation sont 
les coefficients alternatifs du développement de la puissance »m du binome pris alternativement 
avec des signes contraires. 
Or, comme m est impair, le développement de cos. mx renferme la puissance la plus élevée 
en cos. æ et celui de sin. mx, la puissance la plus élevée en sin. æ, dont les coefficients sont 
égaux à l’unité. Le second terme du développement de cos. mx correspondra donc à 
US LE DL CN CT - 
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