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Considérons les propriétés spéciales de cette série, un terme quelconque de rang pair est 
de la forme 
sin. (a—à) sin. à 
. ——— ? 
sin. a tang. a 
ÿ étant une quantité constante, et comme d’ailleurs ce rapport ne saurait être négatif, 
T 
tous les arcs étant compris entre 0 et 9 
, il suit que tous ces termes sont plus petits que 
l’unité. 
Trois termes consécutifs à partir d’un terme de rang pair peuvent être considérés comme 
ayant les formes suivantes : 
sin. à 4 sin. à 
COS. À, —"—, cos. D — ——, 
tang. a : sin. à tang. a” 
05. à — 
tang. a! 
ÿ étant une quantité constante avec la condition 
a <a < a, 
et par suite plus simplement comme ayant la forme suivante : 
l 
æ; 5 ; &!, 
avec la condition : 
au <a < «, 
On aura donc pour le produit des deux premiers termes : 
1 œ 
au x ar) = 7 < Re 
œ œ 
et pour le produit des deux derniers : 
1 
Qi ro El 
a! a 
D'où il suit que si l’on s'arrête à un terme de rang impair, les autres termes groupés 
successivement deux à deux donneront des produits plus petits que 1, et comme le dernier 
terme qui reste après ce groupement est aussi plus petit que À , le produit total des termes 
restants est plus petit que 1. 
Donc le produit formé par les termes successifs de la série en s’arrêtant à un terme de 
rang impair est plus grand que la valeur de la série entière. 
Si l’on s'arrête à un terme de rang pair , tous les autres successivement groupés deux à 
deux donneront des produits plus grands que 1 , et par conséquent leur produit total sera 
aussi plus grand que 1. 
Donc le produit formé par les termes successifs de la série en s’arrêtant à un terme de 
rang pair est plus petit que la valeur entière de la série. 
Ainsi la valeur exacte de la série est toujours comprise entre deux produits, formés en 
s’arrêtant à deux termes consécutifs quelconques. 
L'erreur commise en s’arrêtant à un de ces produits est donc moindre que ce produit 
multiplié par la différence de l’unité au facteur suivant, 
Or, il résulte des conditions de la série que si l’on forme un produit en s’arrêtant à 
un terme de rang impair, tous les produits formés en s’arrêtant à un des termes consécutifs 
