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quelconques, seront moindres que le premier ; en effet, le produit de deux termes consécutifs 
à partir d’un terme de rang impair étant plus petit que l’unité, tous les produits formés en 
s’arrêtant à un de ces termes, seront plus petits que le premier, et tous les termes de 
rang pair étant plus petits que l’unité , les produits qui s’arrêteront à ces termes seront suc- 
cessivement moindres que les précédents. 
Par conséquent un quelconque des produits considérés, sera moindre que le premier 
terme de la série , lequel lui-même est toujours moindre que 2. 
Donc l'erreur commise, en s’arrêtant à un facteur quelconque, est moindre que le double 
de la différence du terme suivant avec l’unité. 
Actuellement considérons la série formée en substituant aux sinus de la première les arcs 
qui leur correspondent, et supposons que cette série soit continuée indéfiniment d’après la 
même loi, nous aurons : 
2 2 À 4 6 6 8 8 
rt ee M ee LV ar COOP TE A0 TES cer tac 
Il résulte de la composition de cette série qu’elle jouit de propriétés identiques à celles de 
la série finie, et qui se déduisent de la même manière. 
La valeur de la série est toujours comprise entre les produits formés en s’arrêtant à deux 
termes consécutifs quelconques, et l'erreur commise en prenant un de ces produits pour la 
valeur de la série, est moindre que le double de la différence du terme suivant avec l’unité. 
Comme d’ailleurs cette différence diminue à mesure que le rang du terme s'élève, et qu’elle 
peut devenir moindre que toute grandeur donnée; il suit que la série (Y) est convergente. 
Je dis maintenant que la série indéfinie (Y) est la limite de la série finie (X). 
Dans la série finie on peut prendre sn assez grand, pour qu’un terme de rang défini quel- 
conque » diffère d’aussi peu qu’on le voudra du terme correspondant de la série indéfinie. 
En effet , quelque soit # à mesure que m augmente, les arcs tendent vers zéro, et par consé- 
quent le rapport des sinus tend vers le rapport des arcs, et l’un peut être rendu aussi peu 
différent qu’on voudra de l’autre; donc aussi, le produit des termes correspondants des 
deux séries. 
Il en résulte que l’on peut prendre dans la série finie m assez grand, pour que la valeur 
entière de cette série soit comprise entre les produits formés en s’arrêtant à deux termes con- 
sécutifs de la série indéfinie. Or, la valeur entière de la série indéfinie est comprise entre les 
mêmes produits, et comme en prenant des termes d’un rang assez élevé, leur différence 
peut être rendue moindre que toute grandeur donnée, il suit que la série indéfinie (Y} est 
la limite de la série finie (X). 
Comme de plus on a: 
; Cr T 
lim. (mm sin. ne ) = g? 
il suit que la limite de l’équation (X) donne : 
RAR 2 4 4 6 6 8 8 
Re : ne 
Di RTE UE En RE 
En comparant cette formule à la précédente, et sachant comment cette dernière a été dé- 
[Z] 
Formule 
de Wallis, 
