Formules 
d’Euler. 
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Les séries que l'on obtient, en substituant dans les seconds membres de (R) et de (S) les 
arcs aux sinus, jouissent par les mêmes raisons de propriétés identiques, et l’on démontre, 
d’après le même type de raisonnement, que les unes sont la limite des autres, d’où l’on 
déduit : 
re _£ 
sin. x = æ e (1 +=) [Ri] 
CRE 2x 
= l? À 
cos, x ja INC [Si] 
Il est à remarquer que les séries finies peuvent recevoir une forme analogue à celle des 
séries indéfinies des arcs. En effet, on a en général : 
sin. (a + b) sin. (a—b)= sin. ? a —sin. ? b ; 
et par suite 
act « * k 
Geo 0 (te (it (int). 
Donc les expressions (R) et (S) deviennent 
UNE 
uE FD 
sin. T—m sin, — P 1138 - [R'] 
Mi A Uuir 
sin. — 
m 
æ 
zt=kh—1 ape 
COS. T— cos. —  P 1e - [S'] 
M j—0 LAN MRNT 
sin. — 
m 2 
Dans ce qui précède, nous avons établi les relations élémentaires qui lient un arc de cercle 
à ses coordonnées rectilignes, et les expressions qui en permettent la détermination numé- 
rique, en les déduisant, d’après une méthode homogène, des formules les plus simples que 
cette courbe comporte. Tel était le but que nous nous étions proposé, et la question se trouve 
ainsi épuisée. 
Toutefois , la forme constamment indéfinie de ces relations, soulève tn problème qui reste 
à résoudre pour compléter la théorie,de la mesure du cercle. C’est le problème de la possibi- 
lité d’une rectification exacte de la circonférence. 
L'examen de cette question, à un point de vue inverse de celui que nous avons exposé ici, 
c’est-à-dire la déduction de la conclusion, que l’hypothèse d’une détermination exacte et 
finie de la circonférence comparée au rayon, est contradictoire, nécessite un mode spécial 
qui n’entre pas dans le cadre que nous nous sommes tracé ici. Nous en avons fait l’objet d’un 
second mémoire. 
La possibilité de la mesure exacte du cercle, quant à un arc entièrement arbitraire , peut 
en outre être posée d’une manière très-générale, en le considérant dans les courbes fermées 
dont le cercle forme une espèce particulière. 
