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variable. Ces conditions se déduisent de la considération d'une courbe liée 
d’une manière très-simple à la courbe donnée. 
9. Soient x, y, les coordonnées rectangulaires d’un point d’une courbe 
plane donnée par son équation, w l'aire correspondante, c’est-à-dire la 
surface comprise entre cette courbe, l'axe des æ et deux ordonnées; l’une 
l'ordonnée variable y, et l’autre une ordonnée fixe déterminant l'origine des 
aires, On à : 
| nd tioë (0) (A 
3. Actuellement supposons que les aires soient évaluées en rectangles, ayant 
tous un même côté égal à l’unité de mesure, la longueur de l’autre côté sera 
un nombre égal à #. Si en chacun des points de la courbe donnée on prend 
une ordonnée égale à la longueur du côté variable du rectangle, on aura 
une nouvelle courbe que nous nommerons quadratrice, à cause de sa relation 
avec la courbe donnée, et dont les coordonnées rapportées aux mêmes axes que 
cette dernière seront w et x. 
L'équation (X) exprime la relation fondamentale des deux courbes, et, la 
quadratrice étant supposée connue, elle permet d'en déduire la seconde que 
par ce motif nous désignerons par le nom de’dérivée. 
La même relation, en tant que condition géométrique, exprime que pour 
deux points correspondants des deux courbes, la fangente trigonométrique de 
la quadratrice est égale en nombre pan de la dérivée. 
4. Cela posé, la question se réduit à déterminer les relations caractéristiques 
qui lient les deux courbes par suile de la relation fondamentale, lorsque 
celles-ci sont algébriques, et d'en déduire les conséquences qui en résultent, 
dans tous les cas possibles pour la dérivée, lorsque cette derivée est une courbe 
fermée. 
La continuité étant l’argument fondamental des théorèmes que nous nous 
proposons de démontrer, et les courbes algébriques n'étant continues qu’autant 
qu'elles sont données par une équation rationnelle, on prouvera en premier 
lieu que la auadratrice d’une courbe carrable comporte, comme telle, cette 
forme. 
EL. 
>. On peut prendre arbitrairement une équation rationnelle irréductible 
Rte) 0 (1) 
pour celle de la quadratrice d’une courbe qu’on se propose de déterminer. Le 
problème est toujours possible et n’admet qu’une solution. En effet, diffé- 
rentian! l'équation (1) et remplaçant _ par 7, on a l'équation : 
af. NS ns 
DE RAR © 2) 
qui, jointe à la précédente, résout le problème, L’élimination de w entre (4) 
