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et (2) donne une troisième équation rationnelle 
Fit, Y} = 10 (3) 
qui est celle de la courbe cherchée. : 
Remarquons que les équations (1) et (2} étant rationnelles, l'élimination de 
u peut êlre faite sans introduire des solutions étrangères. Ainsi les variables 
ont la même extension algébrique dans les trois équations. 
6. Si la quadratrice est irréductible, je dis que la dérivée le sera aussi. 
Car, supposons que l'équation (3) soit décomposable en facteurs rationnels, 
il suit du mode de déduction de (3) que l’on y remplace y par sa valeur tirée 
de (2), on aura une équation identique à (1). Mais # étant rationnelle, À, 2° le 
sont aussi, et par suite la valeur de y. Donc cette substitution dans chacun 
des facteurs de (3) donnera des facteurs rationnels en # et x, donc le produit 
serait identique au premier membre de l'équation (1) supposé irréductible; 
ce qui est absurde. 
7. Les équations rationnelles simultanées (1), (2) et (3) en déterminent une 
quatrième analogue à (2) ; c’est-à-dire une équation de premier degré en w et 
rationnelle en x et y, savoir : 
u—@ (X, y). (4) 
En effet, la différentiation successive de l'équation (1), en y considérant x 
comme variable indépendante, donnera autant d'équations que l’on voudra en 
CNE = nn rationnelles en ces quantités. 
Or, si dans l'équation à différentier, on réduit à l'unité le coefficient de la 
plus grande puissance de 4, la différentiation abaissera immédiatement ke degré 
de cette variable, et en opérant successivement de la même manière sur les 
équations obtenues on parviendra à une équation de premier degré en u et 
rationnelleen +, =. Lx … Je dis que, dans tous les cas, on arrivera à une telle 
équation; car soit : 
D ANR ROUNE 0 
l'équation à différentier ; il suffit de prouver que la différentiation n’abaissera 
jamais de plus d’une unité le degré de w. 
Cette différentiation donnera deux termes en um—", savoir le premier 
e 1 
M — UT}, 
dx 
et le second, dont le coefficient sera la dérivée de A. Je dis que ces deux 
coefficients ne pourront jamais s’annuler mutuellement. 
Si À contient un coefficient différentiel quelconque de « par rapport à zx, 
soit : 
du 
dar 
celui de l'ordre le plus élevé, x étant un nombre au moins égal à 1, la diffé- 
