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qui aura une infinité de solutions communes avec la courbe donnée, et comme 
les deux sont irréductibles, il suit qu’elles sont identiques. 
Mais les deux courbes rationnelles F et f étant liées par une équation de 
la forme de l'équation (2), il résulte de ce qui a été démontré qu'elles se cor- 
respondent point par point dans toute leur étendue d’après la formule (X). 
D'où l’on déduit le théorème fondamental suivant : 
Taéorème. J'oute courbe carrable a une quadratrice rationnelle, et les deux 
courbes se correspondent réciproquement point par point dans toute leur étendue. 
IE. 
10. Considérons maintenant la relation géométrique des deux courbes dans 
les points qui présentent quelque singularité. 
Nous pouvons appliquer le mode de dérivation indiqué par l’équation (X) à 
une courbe quelconque autre que la quadratrice, et en particulier à une ligne 
droite, il en résulte qu’une droite quelconque a, pour dérivée, une parallèle à 
l'axe des æ. 
F6. 4. — Soit AZN une branche de la quadratrice, HT sa tangente en un 
point variable 47, et r l'angle qu’elle fait avec l’angle des x. 
Soit, en outre, AZ une droite quelconque, « l'angle qu’elle fait avec la 
tangente MT, et 8 celui qu’elle fait avec l’axe des x, on aura 
Te; 
et par suite de la relation (X) : 
net ee CAEN tang. «x + tang. B 
9 É Suit 7 1 — ang. * tang.B. 
L'angle * est constant, posant 
b = lang. Ê. 
WCT Remo 
ue Er lang. «. 
1 + 0?) éang. « 
d'où is 1 hat ti) 1808 
1 — biéang. c. 
La dérivée de la ligne A2 sera une parallèle à l'axe des x, à la distance 
b = tang.B; 
donc si on appelle y l’ordonnée en genéral de la dérivée rapportée à cetle pa- 
rallèle comme axe des abscisses, on aura 
eng 
et par suite 
y = (A + 0?) tang. « ) 
1 — 0 tang. à. 
Actuellement, supposons la droite À P tangente au point #. Pour la branche 
de la quadratrice tracée à parlir de ce point, tang. « variera à partir de zéro, et 
il résulte de la formule (Y) que dans le voisinage du même point, l’ordonnée y 
aura le même signe que tang. «. 
Fic, 2. — 11. Soit H un point de rebroussement latéral dont la langente 
