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MT n’est pas parallèle à l'axe des y. Si par le point # on mène une parallèle 
à cet axe, les deux branches de la courbe seront , dans le voisinage du point 
M, comprises dans l’angle yMT. 
Construisons la dérivée de la tangente MT"; cette ligne sera une parallèle 
MT à l'axe des x. Le point H consideré comme appartenant soit à la courbe, 
soit à la tangente, aura le même dérivé situé en A! sur la ligne M'7". 
Pour les points de la branche Mm voisins de }Z, l'angle de la tangente à la 
courbe avec M Test positif; donc, d’après la formule (Y), les points correspon- 
dants de la dérivée sont tous situés dans l'angle y M' 1". Il en sera de même 
pour la seconde branche. 
La tangente au point A’ de la branche dérivée Mn, étant la limite des 
positions qu’occupe une sécantle variable passant constamment pas WW, et tous 
les points, dans le voisinage de W', étant compris dans l’angle y'M° T7, il suit que 
la tangente sera nécessairement comprise dans le même angle. Il en sera de 
même pour la tangente au point A’ de la seconde branche dérivée M' »'. 
Or, ces deux tangentes étant comprises dans l'angle y M' 7’, ne pourront, 
dans aucun cas, devenir opposées; donc les deux parties M' m', M'n! de la dé- 
rivée forment deux branches distinctes. Il en résulte, en outre, que le point 
M' est ou un point anguleux, ou un point de rebroussemen!, nécessairement 
ce dernier, si les courbes sont algébriques ; donc : 
Un point de rebroussement latéral a pour dérivé un point de rebroussement 
soit latéral, soit symétrique , lorsque les deux courbes sont algébriques. 
Fic. 3. — 12. Considérons maintenant un point de rebroussement symétrique 
M ; soit JT’ sa tangente non parallèle à l'axe des y. Une branche Mm de la 
courbe sera , dans le voisinage de M, comprise dens l'angle yMT' et l’autre 
branche Yn dans l'angle 7'My1. 
Construisons la dérivée de la tangente A7’; elle sera une parallèle A'77 à 
l'axe des x. D'après les mêmes raisonnements que ci-dessus , la dérivée M' m' 
de Mm sera comprise dans l’angle y M' 1”, et la dérivée M'n! de Mn, dans 
l'angle 77 M' y. Donc encore les tangentes au point N'à chacune de ces bran- 
ches seront comprises respectivement dans les mêmes angles. 
Si l’on suppose la quadratrice, une courbe algébrique, et par suite la dérivée, 
il suit que le point W'ne pouvant être un point anguleux, les directions des 
deux tangentes ne pourront être qu'identiques ou opposées. Ainsi elles se con- 
fondront en une seule droite située sur la limite des deux angles, soit en 
M T’, et dans ce cas le point N' sera un point de rebroussement symétrique; 
soit en y’ y, et dans ce cas le point M' sera un point ordinaire dont la tan- 
gente sera parallèle à l'axe des y; donc pour les courbes algébriques : 
Un point de rebroussement symétrique a pour dérivé, soit un point de re- 
broussement de même espèce dont la tangente est parallèle à l'axe des x; soit un 
point ordinaire dont la tangente est parallèle à l'axe des y. 
413. Il résulte, en outre, soit du même ordre de considération, soit immédia- 
tement de l'examen de la relation fondamentale que : 
Un point d'infleæion a pour dérivé un point maximum où minimum. 
Un point dont la tangente est parallèle à l'axe des x a pour dérivé un point 
situé sur cet axe. 
