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Il n'y a pas lieu de considérer d’une manière spéciale les points multiples. 
En considérant la succession des points de la quadratrice suivant la continuité 
de leurs coordonnées et de leurs tangentes, les conditions qui en résultent pour 
la dérivée sont indépendantes de ce que les branches se coupent ou non. 
IV: 
14.La quadratrice et la dérivée sont liées par cette condition fondamentale, qu’en 
un point quelconque de la quadratrice, l’ordonnée exprime l’aire de la dérivée 
limitée au point de cette courbe correspondant au premier, et réciproquement. 
Lorsque Ja branche de la dérivée que l’on considère est située au-dessus de 
l'axe des x et qu'un point peut se déplacer sur cette branche de manière que 
son abscisse aille constamment en augmentant, la détermination géométrique 
de l'aire exprimée ne présente aucune ambiguïté, et en constitue le type d’a- 
près lequel la formule fondamentale a été établie. 
Fic. 4. — 15. Supposons que le point mobile se déplaçant à partir de A’, 
arrive à un point M' où les abscisses commencent à décroître. Nous appellerons 
en général un tel point, point de retour. Nous le supposerons dans ce cas un 
point ordinaire dont, par suite, la tangente sera parallèle à l'axe des y. 
D’après les relations énoncées aux n°5 12 et 13, Le point correspondant H de 
la quadratrice sera un point de rebroussement symétrique, dont la tangente 
sera inclinée sur l'axe des æ. Les ordonnées de la quadratrice iront en crois- 
sant de n à JM, mais au delà du point A et pour la partie Mm correspondant à 
la branche HW! n de la dérivée, ces ordonnées commenceront à décroître. Donc 
l'aire partielle correspondante de la dérivée est négative. 
Si donc l’on suppose que l’origine des aires soit au point 2, l'aire partielle 
M! S V P aura été comptée deux fois, avec un signe différent chaque fois, elle 
aura donc disparu de l'expression totale. Ainsi l'ordonnée du point de la qua- 
dratrice correspondant au point S, exprimera l'aire enveloppée par l'arc R MS 
de la courbe, les deux ordonnées extrêmes et l'axe des x. 
La conclusion sera lamême, quelle que soit la nature du point de retour HZ. 
Le point correspondant # de la quadratrice ne pourra, dans aucun cas, êlre un 
point ordinaire dont la tangente serait parallèle à l’axe des y; puisque l’or- 
donnée de la dérivée serait infinie, ce qui n’est pas. Ce point sera donc un point 
de rebroussement à tangente inclinée sur l’axe des x. Cette condition comporte 
les mêmes conséquences , que le rebroussement soit symétrique ou latéral. 
16. Quelque soit le nombre de circonvolutions de l’arc de la dérivée que l’on 
considère, on arrivera à la conclusion précédente, si l'on suppose que cet arc 
n'est recoupé ni par lui-même, ni par les ordonnées extrêmes, et qu'il est situé 
tout entier du même côté de l’axe des x. 
de 
17. Actuellement considérons une courbe carrable fermée. Les abscisses et 
les aires de cette courbe sont limitées, donc les coordonnées de la quadratrice 
le sont aussi, et comme cette dernière est rationnelle , il suit qu’elle est aussi : 
fermée. à 
