= if 
Soit un point quelconque de la dérivée autre qu’un point multiple pris pour 
origine des aires, l'ordonnée du point correspondant de la quadratrice sera 
nulle si nous supposons que les deux points se déplacent sur les deux courbes 
sans cesser de se correspondre, lorsque le point mobile de la dérivée reviendra 
au point de départ , il en sera de même pour le point correspondant de la qua- 
dratrice. Donc : 
L'expression de l'aire totale d'une courbe fermée exactement carrable est nulle. 
. A8. Cela posé, je dis qu’une courbe fermée qui n’a pas de points multiples 
n'est pas carrable. é 
Car, supposons-la carrable. On peut toujours rapporter cette courbe à un 
axe qui ne la coupe pas; on peut, en outre, prendre pour points extrêmes 
deux points qui satisfont aux conditions du n° 16. D'où il suit que l’expres- 
sion de l'aire correspondant à l’axe dont ces points formentles extrémités sera 
toujours une quantité déterminée, et lorsque les deux points extrêmes seront 
réunis en un seul, l'expression de l’aire sera exactement égale à la grandeur 
absolue de l'aire enveloppée par la courbe. Mais d'un autre côté il résulte du 
théorème précédent que cette expression doit être nulle; ce qui est contradic- 
loire. 
On a donc, sous une autre forme, le théorème suivant : 
Taéorème. Toute courbe fermée exactement carrable a au moins un point mul- 
tiple. 
Fi. 5. — 19. Soit 2 S T'une courbe fermée carrable formée de deux nœuds 
extérieurs l’un à l’autre, et un point quelconque H de cette courbe pris pour 
origine des aires, Z’et Æ les points extrêmes de retour. 
IL suit de ce qui a été démontré pour les aires partielles, que Paire sera po- 
sitive pour toute l'étendue de l'arc M S 7”, négative pour l'arc 7° NS À; enfin 
qu'elle redeviendra positive pour l’axe 2 M. D'où il résulte qu’il n’entrera 
dans expression totale de l’aire que des surfaces délimitées uniquement par 
la courbe; en outre l’aire d'un de ces nœuds étant prise positivement, l’autre 
sera négative. Donc les aires de deux nœuds successifs extérieurs l’un à l’autre 
ont des signes contraires. 
Cette conclusion sera rendue sensible si l’on distingue, par des traits diffé- 
rents, les aires élémentaires positives des aires négatives, el remarquant que 
les aires qui finalement seront marquées des deux espèces de traits, disparais- 
sent de l'expression totale. 
Il est facile de voir que la conclusion précédente s'étend à une courbe 
formée d'un nombre quelconque de nœuds extérieurs les uns aux autres et se 
développant en série linéaire, 
Or l'expression de l’aire totale de la courbe est nulle ; donc : 
Taéorème. Lorsqu'une courbe fermée exactement carrable est formée de 
nœuds se succédant extérieurement les uns aux autres, en série linéaire, la 
somme des avres des nœuds de rang pair est égale à la somme des aires des 
nœuds de rang impair. 
20. Lorsque la quadratrice a une tangente horizontale, la dérivée coupe 
Vaxe des z au point correspondant et réciproquement. Il résulte en outre des 
relations caractéristiques des points singuliers des deux courbes que, si une 
