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branche de la dérivée coupe l'axe obliquement, l'aire partielle change de 
signe ; l’aire conserve le même signe, si la branche de la courbe coupe l’axe 
normalement. 
Fir.6. — 21. Cela posé, soit N M T'A S N une branche de courbe formée 
de deux nœuds dont l’un enveloppe l’autre. Pour plus de simplicité, suppo- 
sons la symétrique par rapport à la‘droite N S prise pour axe des x. 
L'origine des aires étant au point Ï, et celles-ci comptées de N à S$, l'aire 
partielle correspondant à l’axe N M T sera positive ; elle deviendra négative au 
point de retour Jet restera telleipour l’axe 7° S jusqu’au point de rencontre 
S' avec l'axe; enfin elle redeviendra positive pour l’axe S V A. L'aire par- 
tielle 7° S 7 ayant été comptée deux fois, une fois positivement et une fois 
négativement, disparaîtra de l’expression finale. Ainsi au point À l’expression 
de l'aire comprendra celle que l’axe N M 7° S enveloppe avec l'axe, et l'aire 
que l’arc S V À enveloppe avec la même ligne, les deux prises positivement. 
La courbe coupant normalement l'axe au point À, il suit que les aires symé- 
triques ont le même signe. Donc, dans l'expression totale de l'aire, les deux 
nœuds considérés entrent avec le même signe. 
Remarquons d’ailleurs que l'aire du nœud enveloppant doit être comptée 
en totalité comme si le nœud enveloppé n'existait pas. 
Il est facile de reconnaître que la conclusion émise est indépendante de ce 
que la branche de courbe considérée est symétrique ou non : ainsi cette con- 
clusion est générale. 
22. De ce qui précède on conclut le théorème suivant. 
Taéorème. Dans toute courbe fermée exactement carrable , si l’on donne des 
signes opposés à deux nœuds successifs extérieurs l'un à l’autre, et le même signe 
à deux nœuds successifs donf l’un enveloppe l'autre en tout ou en partie; la 
sonume totale des aires envelopgées par la courbe sera nulle. 
VI 
23. Les relations de correspondance entre la quadratrice et la dérivée peu- 
vent, dans certains cas, être appliquées à la détermination des conditions de 
quadrature des courbes indéfinies. Par exemple, lorsque les courbes indéfinies 
dans un sens sont limitées dans l’autre, et ont des aires finies. 
Nous supposerons que le sens dans lequel ces courbes sont limitées est celui 
de l’axe des æ. Dans ce cas, ces courbes ont au moins une asymptote parallèle 
à l'axe des y. Supposons, en outre, qu’une de ces courbes puisse être isolée 
par deux parallèles à l'axe des y, c’est-à-dire qu'on peut, de part et d'autre 
de ces parallèles, leur en mener une autre telle qu'aucun point de la courbe ne 
soit compris entre les deux; il résulte de ce qui précède que si cette courbe est 
carrable, sa quadratrice est une courbe fermée. 
Parmi les courbes indéfinies qui satisfont à cette condition, nous considére- 
rons seulement celles qui étant symétriques, ne sont rencontrées qu'en deux 
points par une ordonnée et n'ont point d'asymptotes entre les parallèles qui 
l'isolent. 
La quadratrice d’une telle courbe sera une courbe fermée symétrique, ren- 
? 
