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contrée seulement en deux points par une ordonnée, ne pouvant avoir ni points 
de rebroussement, ni tangentes parallèles à l'axe des y entre ses points 
extrêmes. 
Il en résulte que cette quadratrice aura au moins un point maximum, dont 
la tangente sera parallèle à l’axe des x, ce qui correspondra à un point inter- 
médiaire de la dérivée situé sur l’axe; et la courbe étant symétrique, ce point 
sera un point double. 
Donc une courbe de la nature de celles qui viennent d'être définies , lors- 
qu'elle est carrable, a au moins un point multiple situé sur l'axe. 
24. Il est facile de reconnaître que les courbes représentées par les équa- 
tions : 
A eE EE AT 
Le Jante) C0 trs 
dans lesquelles on a 4 <1 <a; 
sont isolées par des parallèles à l’axe des y, à des distances de l’origine 
égales à 
ZT—+A4,xz——U; 
que leur aire est finie et qu’une ordonnée ne les rencontre qu’en deux points. 
Il en résulte que ces courbes ne sont pas carrables, car si elles l’étaient elles 
auraient au moins, dans cet intervalle, un point multiple situé sur l'axe des x, 
ce qui n'est pas. 
Cela revient à dire que les trois fonctions elliptiques, 
Un /(—2) Uk), (a?—x?) VÜ—x) (IR a 
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ne peuvent être identiques à une fonction algébrique quelconque explicite ou 
implicite. 
25. Lorsque les courbes carrables de l’espèce de celles que nous avons con- 
sidérées ont un nœud, l'aire de ce nœud est égale à l'aire hyperbolique. Cette 
proposilion résulte de considérations analogues à celles que nous avons pré- 
sentées pour les courbes fermées. 
On a un exemple très-simple de ce cas, dans les courbes dont les points se 
construisent de la même manière que la cissoïde. 
Fic. 7.— Soit ACB le cerele directeur, À un pôle pris sur ce cercle, et A 2 le 
diamètre passant par ce point. Au lieu de prendre la directrice, perpendiculaire 
au diamètre À 2, à son extrémité, on la prendra en un point intermédiaire P. 
La directrice PD sera asymptote de la courbe, et celle-ci aura un nœud dont 
dont l’axe AS sera égal à P2. Il est facile de reconnaître que, si Von joint le 
pôle À avec les points de rencontre Cet C’ du cercle de la directrice, on ob- 
tiendra deux tangentes à la courbe au point 4, que le nœud sera compris dans 
l'angle A 7' et chacune des branches indéfinies dans l'angle ZAC et son 
opposé. 
D'où il suil que si l'on élève une perpendiculaire en S au diamètre , l'aire 
