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du demi-nœud sera plus petite que le triangle S7'A, et la demi-aire hyper- 
bolique plus grande que le triangle CAP. Or, ces deux triangles sont sembla- 
bles, et si l’on prend AP — PB = AS, l'aire hyperbolique sera plus grande 
que l’aire du nœud et la courbe ne sera pas carrable. 
Mais si l’on suppose que la directrice se rapproche infiniment du pôle, il est 
facile de reconnaître, d’après le mode de construction de la courbe, que l'aire 
du nœud augmentera progressivement et que l'aire hyperbolique diminuera 
en ayant zéro pour limite. Donc, il existera une position unique pour le pied 
de la directrice, ou il n’y aura pas d’impossibilité que la courbe soit carrable. 
Elle l’est en effet dans ce cas, et la position du pied P est déterminée par la 
relation 
À 
P = - 
À 742 
ou AP —1 45 
— As. 
L’aire, en supposant son origine prise au sommet du nœud, et le diamètre 
du cercle égal à l’unité, est donnée par l'équation 
1 
UNS 1— 
RU x) 
La quadrature de cette courbe donne immédiatement celle du folium de Des- 
cartes. Deux ordonnées quelconques de ces deux courbes, correspondant à une 
A Ê 7 gs . 
même abscisse sont dans un rapport constant et égal à——. Le folium se cons- 
3 
truit au moyen de la courbe que nous avons considérée de la même manière 
qu'une ellipse peut être construite sur un cercle. 
VIL. 
26. Les théorèmes que nous avons établis posent les conditions auxquelles 
doit satisfaire une courbe fermée, et certaines courbes indéfinies pour être 
exactement carrables, et ces conditions ne sont que ces mêmes théorèmes 
énoncés sous une autre forme. Ces conditions sont nécessaires, mais jusqu'ici 
rien ne prouve qu'elles soient suffisantes, d’où il suit qu’elles ne comportent 
en tant qu'absolues que des conclusions négatives, savoir, qu’en ce sens elles 
serviront uniquement à déterminer, comme n'étant pas carrables, certaines 
catégories de courbes. 
Il n’est pas sans intérêt de remarquer que ces conditions générales ont uni- 
quement pour base logique le mode de continuité des grandeurs géométriques. 
NOTE. 
Newton, dans ses Principes mathématiques de la philosophie naturelle, a 
traité incidemment de la quadrature des courbes fermées. Nous donnons ci- 
dessous sa proposition, en supprimant seulement dans la démonstration ce qui 
concerne le degré infini de l'équation d’une spirale. 
« Nulla extat figura ovalis cujus area, rectis pro lubilu abseissa, possit per 
