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» per equationes numero terminorum ac dimensionum finitas generaliter inveniri. 
» Intra Ovalem detur punctum quodvis, circea quod ceu polum revolvatur 
» perpetuo linea recla, uniformi cum motu, et interea in recta illa exeat punc- 
» tum mobile de polo, pergatque semper ea cum velocitate, quæ sit ut rectæ 
» illius intra Ovalem quadratum. Hoc motu punctum illud describet spiralem 
» gyris infinitis. Jam si areæ Ovalis a recta illa abscissæ incrementum per 
» finitam æquationem inveniri potest, invenietur etiam per eamdem æquatio- 
» nem distantia puncti a polo, quæ huic areæ proportionalis est, adeoque 
» omnia spiralis puncta per æquationem finitam inveniri possunt ; et propterea 
» rectæ cujusvis positione datæ intersectio cum spirali inveniri etiam potest 
» per æquationem finitam...… 
» Nequit ergo intersectio rectæ et spiralis per æquationem finitam genera- 
» liter inveniri, et idcirco nulla extat Ovalis cujus area, rectis impertatis 
abscissa, possit per talem æquationem generaliter exhiberi. 
» Eodem argumento, probari potest quod longitudo perimetri nequet per 
finitam æquationem generaliter exhiberi ‘. » 
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C4 
Sans rechercher le sens précis que l’on doit attribuer au terme d’Ovale em- 
ployé par Newton, nous remarquerons que la démonstration qui précède s’ap- 
plique, sans ambiguïté, à une courbe fermée dans le plan de laquelle on peut 
prendre un pôle, d’où toute ligne tracée dans une direction déterminée ren- 
contre la courbe en un seul point. 
C’est ce qui a lieu, par exemple, pour la développée de lellipse et pour 
l'épicycle unilobée, lorsque le pôle est pris au centre de la première , et sur un 
point quelconque de l’axe de la seconde. 
D'où il résulterait que ces courbes ne sont ni rectifiables ni carrables ; or, on 
sait que l’une et l’autre sont exactement rectifiables. 
La proposition de Newton n’est donc pas exacte, et si l’on recherche la cause 
de l'erreur, on reconnaîtra que les arguments de la démonstration étant puisés 
simultanément dans la considération géométrique et dans la considération al- 
gébrique des grandeurs, il était préalablement nécessaire de déterminer dans 
quelles limites leur correspondance existe dans le problème actuel. 
On reproduit sous une autre forme l'argument de Newton, lorsqu'on admet 
à priori, qu’à des coordonnées déterminées du cercle correspondent une série 
indéfinie d’arcs aboutissant aux mêmes extrémités. 
Ce qui précède montre suffisamment que dans les questions relatives aux 
courbes fermées, on ne peut admettre à priori qu’un arc unique, moindre que 
le périmètre entier de la courbe, comme correspondant à des coordonnées dé- 
terminées d’un point de cette courbe. 
1 Philosophiæ naturalis principia mathematica, Liber primus, Lemma xxvur, page 98 de 
l'édition de 1723, 
10. 
