— A2 — 
cela tient en effet à ce que le centre du cercle au bout d’un certain temps s’est trans- 
porté parallèlement à la droite directrice d’une longueur égale à l'arc de cercle 
décrit par le point de la circonférence primitivement en contact avec cette droite. 
Cela posé, soient (fig. 1), » la position du point décrivant, w et Z la vitesse 
angulaire de rotation autour de son centre, et le rayon du cercle générateur; € la 
corde qui joint # au point de contact à de la circonférence avec la droite direc- 
trice bx ; mt—mq=uk les droites respectivement parallèles à bx et perpendicu- 
laires au rayon m0, qui représentent les vitesses simultanées des mouvements 
composants du point m; mp la résultante de ces deux vitesses dont la direction est 
celle de la tangénte à la courbe. 
Tangente à la cycloïde. — Les deux triangles isocèles mfp, mob, étant sem- 
blables, comme ayant leurs côtés égaux respectivement perpendiculaires, il s'ensuit 
que la vitesse mp ou la tangente à la courbe est perpendiculaire à la corde mb, et 
que cette vitesse est représentée par wc. 
Rayon de courbure. — L’accélération du point m est due uniquement au mou- 
vement composant uniforme de rotation du cercle autour du centre o, elle est par 
suite dirigée suivant le rayon #0 et exprimée par &*X2—«°.0m dont la projection 
w°?C 
œ 
la trajectoire du point m; or si est le rayon de courbure de la cycloïde, cette 
_ Free : . MP? wc , 
dernière accélération a aussi pour expression ——=—— ; égalant ces deux valeurs 
g 9 
sur la normale bm, évidemment égale à — , est l’accélération normale relative à 
on arrive à b—2c, c’est-à-dire que le rayon de courbure de la cycloïde est double 
de la normale. eu 
Il serait facile de déduire de là la nature de la développée ; cette question est 
trop simple pour qu'il soit nécessaire d’y insister. 
Quadrature. — Soient m! un point de la cycloïde infiniment voisin du point m ; 
e le centre de courbure correspondant; les deux triangles mem’, bcb' étant entre 
eux comme le produit des côtés comprenant l’angle commun ou :: 4:1, il en ré- 
sulte que le quadrilatère élémentaire mbb'm! est le triple du triangle bcb', ou de 
l'élément mbn du cercle, obtenu en menant bn parallèle à cm. De cette considé- 
ration, on déduit facilement que : une portion de l'aire de la cycloïde comprise entre 
deux normales quelconques, est égale à l'aire du cercle limitée par deux parallèles 
à ces normales, menées par le point de contact avec la directrice, et, comme consé- 
quence, que l'aire de la cycloide est triple de celle du cercle générateur. 
Rectification. — Je joins les cordes am, an, partant du sommet 4 du cercle, dont 
la dernière rencontre bm en k; l'élément circulaire an étant semblable à l’arc élé- 
: 1 En 
mentaire #m! pour des rayons dont le rapport est 3 mm est égal à 24n, ou au 
double de l'accroissement infiniment petit de la corde am ; l'arc total S — fm de la 
cycloide , compté à partir du sommet f de la courbe est donc égal au double de la 
corde correspondante du cercle-déterminée par le point décrivant et le sommet de ce 
cercle. On déduit facilement de cette propriété que /a longueur totale de la cycloide 
est égale à quatre fois le diamètre du cercle générateur. 
Tautochronisme. Considérons maintenant (fig. 2) un point matériel pesant m 
16. 
