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AA! du cercle générateur, le point X appartenant à l’épicycloïde s’obtiendra en 
projetant A’ extrémité du rayon CA! sur la ligne AX. 
2% Du point A’ menez une ligne indéfinie formant avec le rayon CA’ un angle 
ÆA'C égal au rapport de l'arc OA au diamètre A1; le point X de l'épicycloïde 
s’obtiendra en projetant À sur A'Æ. 
IT. De ce qui précède l’on peut déduire l'équation de l’épicycloïde sous une 
double forme très-simple. 
Soit x l'arc parcouru, à partir de l’origine, par le point de contact À du cercle 
généraleur, y la longueur AX déterminée d’après la première construction du 
n° Il; l’on aura, ZX, À’, étant les rayons des cercles CA, CA’, 
æ 
—=(R'—R) sin ——. 
y=\ ÉETE 
Si l’on prend pour coordonnées d’un point Æ de l’épicycloïde : l'arc O'A' inter- 
cepté sur le cercle CA par les rayons OC et AC prolongés, et la ligne A'Æ dé- 
terminée d’après la deuxième construction du même n°; en appelant z',y', ces 
coordonnées, l’on aura : 
y=(R'—R ):c0s (% 5) ï 
IV. Trouver d'une manière générale le lieu des intersections successives des droites 
menées aux extrémités des rayons d’un cercle, et faisant avec ces rayons des angles 
suivant une loi donnée. 
La géométrie donne une solution simple de cette question. 
Soit (fig. 2) le cercle C dont le rayon est R, soit « l'angle qu'une droite AX 
fait avec la tangente À 7'; soit A’A7 la position que prend AZ lorsqu'on passe du 
point À à la position infiniment voisine À’; du point 2, comme centre, avec un 
rayon égal à PA, soit décrit l'arc AD; l’on a 
d: 
TAK—=4, T'A'K'—a+ do, AA'—ds, ATA'—180— R ! 
Dans le quadrilatère A7A'B, tous les angles sont connus à l'exception de 
arc AD 
BA ? 
par suite, en appelant BA, r; et en remarquant que le triangle infinitésimal 
ADA' donne arc AD =- ds. sina; l'on aura 
l'angle 7; on obtient angle 7— : + du; or, d'une autre part, ang 1 = 
(1) 4 sing = z LE 
CR RUE Eat 
d’après laquelle on pourra trouver », lorsque la loi de la variation de l'angle « sera 
connue. ! 
Cette relation est l'équation du lieu en question. Il est évident que l’on trou- 
verait la même relation dans le cas général d’une courbe quelconque. Seulement R 
serait le rayon de courbure de cette courbe. 
V. Si d'un point o, pris sur la circonférence d’un cercle, ou même deux droites 
faisant avec la tangente en ce point, et d'un même côté : la prenuère, l'angle 2; la 
