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X. Si d’un point o, pris sur la circonférence d'un cercle, on mène des droites 
telles que les arcs décrits du point o comme centre avec les rayons a, a, a",.…., et 
compris entre la tangente en ce point et chacune de ces droïtes, soient ©, c', ©”... c,; 
si, pendant que le point o se meut sur la circonférence, toutes les droites moins une 
sont assupéties à rester tangentes à autant d'épicycloides tangentes en leur sommet à 
la circonférence donnée , et que la somme des arcs c, c’, c”.…, reste constante, les 
intersections successives de la dernière ligne formeront une épicycloïde. 
En effet, chacune de ces droites devra satisfaire à l’une des relations : 
1 d luna do! Avi 1 dan 
ë sina = ñ + AE sine Dé TAVHNQUE SN En —= & NT à 
Faisant la somme de ces équations, après avoir multiplié : la première, par a; la 
deuxième, par a; et ainsi de suite, et remarquant que 
ado. + ad! + @! do! +... + an don = 0; 
l’on aura : 
(3) nee indesit te oin Ré sd 
«= A — ... Ex One — 
“ r r! R : 
Or, si l’on appelle D, D’, D"... D,_1, les diamètres des cercles générateurs des 
épicycloïdes , les équations de ces épicycloïdes seront, d’après le n° IT, 
r =D sine, r'= D'sins!,.…., Tn-4 — Da sinan-1. 
Portant ces valeurs dans l'équation (5), l’on aura : 
DT D + dar 
An 3 
— SN An —= 
Ta R 
DE QE ST An ff a re) 
qui représente une épicycloïde tangente en son sommet au cercle donné, et dont 
le diamètre du cercle générateur est 
An 
AE) 102, fete l'E ele Tape: 
R 5) k 1) tr (Re D) TR 
Remarque. Le théorème précédent aurait encore lieu dans le cas où l’on rem- 
placerait dans l'énoncé les ares par les angles correspondants, et les épicycloïdes 
par des points fixes situés à leur sommet. Il suffirait de supposer les rayons a, a', 
d’,..., @& égaux à l’unité , et les diamètres D, D', D”,.... égaux à 22. 
Enonçons quelques corollaires du théorème précédent : 
40 Si, pendant que le sommet d'un angle constant glisse sur une circonférence, 
l’un des côtes reste tangent à une épicycloide tangente en son sommet à la circon- 
férence donnée : le lieu des intersections successives de l’autre côte est une épicy- 
cloide égale à la première , et tangente en son sommet à la circonférence donnée. 
2 Etant donné une circonférence , et une épicycloïde tangente en son sommet à 
cette circonference ; si des rayons lumineux S’échappent , suivant les tangentes à 
cette épicycloide, et sont réfléchis par la circonférence donnée , la caustique par 
réflexion de ces rayons lumineux est une épicycloide. 
30 Etant donné une circonférence, et deux épicycloïdes tangentes en leur sommet 
à la circonférence ; si d’un point de la circonférence on mène deux tangentes à ces 
