NOËEE 
SUR 
LA THÉORIE DES NOMBRES, 
PAR M. MALDAN, 
CAPITAINE D’ARTILLERIE. 
( Séance du 10 février 1855. ) 
On sait que pour former le carré d’un nombre entier N, il suffit d'additionner 
les N premiers nombres impairs de la série naturelle des nombres , ce qui permet 
d'obtenir tous les carrés par de simples additions. 
Si l’on forme les carrés de chacun des termes de la série naturelle, on remarque 
que la différence entre le 1° et le 3% terme , entre le 3% et le 6%, entre le 6m 
et le 10we de la nouvelle série donne les cubes successifs de la série naturelle. 
Or ces 4er, 3me, Gme, 10m termes, sont les carrés des nombres triangulaires que 
l'on obtient en additionnant successivement tous les termes de la série naturelle. 
1 1+2—=5 1492-#3—=6 14+2+3+4—10 etc. 
Cherchant à exprimer géométriquement cette propriété , il fallait trouver une 
courbe qui, ayant pour abcisses la série naturelle des nombres, eût pour or- 
données correspondantes la série des nombres triangulaires ; telle, en un mot, 
que deux ordonnées consécutives y et y' correspondant aux abcisses x et x+1 
eussent des valeurs satisfaisant à l'équation : 
y?—y?=(x+i JE 
Il suffit, pour cela, d'exprimer que y est un nombre entier triangulaire, c'est-à- 
dire égal à la somme des x premières abcisses : 
y=zT+(T—1)+(x—2)+ . .... X (æ—(æ—1). 
ou en faisant la somme : 
x (æ—1) 
U— 
: 2 
; 20 dy il 
équation d'une parabole. Pour AE © et reportant cette valeur 
1 
dans l'équation de la courbe, ona y =— ce qui donne les coordonnées du 
S ? 
sommet. 
