CONSIDÉRATIONS 
ÉOMÉTRIQUE 
SUR LES CONDITIONS 
DE STABILITÉ DE L'ÉQUILIBRE DES SYSTÈMES MATÉRIELS, 
PAR M. H. RÉSAL, 
INGÉNIEUR DES MINES, DOCTEUR ÈS-SCIENCES. 
(Séances des 13 décembre 1855 et 12 janvier 1856.) 
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4. Considérons un système de points matériels m, nv, m’, soumis à leurs 
actions et réactions mutuelles, fonction de leurs distances, et à des forces attrac- 
tives ou répulsives de même nature, provenant des systèmes matériels extérieurs, 
qui ne dépendent également que de la distance. Admettons de plus que les 
positions relatives de ces points aient entr'elles certaines dépendances, résultant 
-de conditions représentées par des équations entre leurs coordonnées. Si par des 
causes initiales quelconques, le système prend l’un des mouvements dont il est 
susceptible, le travail total des forces qui le sollicitent, tant intérieures qu’exté- 
rieures, sera une fonction des coordonnées de ces points, ou seulement de 
quelques-uns d’entr’eux , par suite des équations de condition qui permettront 
d’en éliminer quelques-unes des coordonnées. Pour chaque position d'équilibre, 
cette fonction, appelée la fonction des forces, sera, en général, un maximum ou 
un minimum; dans le premier cas, l'équilibre est stable, théorème dû à La- 
grange et dont la démonstration a été depuis simplifiée et rendue plus rigoureuse 
par M. Lejeune Dirichlet. Lagrange a prouvé de plus que cette condition de ma- 
ximum n’est pas seulement suffisante, mais encore qu'elle est nécessaire pour 
assurer la stabilité de l'équilibre. 
Les considérations sur lesquelles on s’appuie pour démontrer ces théorèmes 
n'étant pas élémentaires, j'ai cherché à y substituer des méthodes géométriques 
simples, de la nature de celles que M. Poncelet a si heureusement introduites 
dans l’enseignement de la mécanique. C’est le résultat de ces recherches que je 
vais exposer. 
2, Nous remarquerons, en premier lieu, que si le système n’est susceptible 
que de certains mouvements à l'exclusion de tous les autres, par suite des équa- 
tions de condition mentionnées plus haut, cela ne peut résulter que de l'existence 
de certains points, lignes, surfaces rigides, fixes ou mobiles suivant une loi 
connue ; or, dans Ja réalité, il n’existe, sous le rapport mathématique, ni points, 
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