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ajoutant membre à membre loutes ces inégalilés y compris (2), il viendra: 
(5) À À EpruvE + Ztravfo + EtravN, | < 0. 
Le symbole > ayant ici la signification connue de Somme. 
Ainsi donc pour qu’un système matériel soit en équilibre stable, il est néces- 
saire, en général, que, pour tous les déplacements dont il est susceptible, l’ac- 
croissement infiniment petit du travail élémentaire des forces, tant extérieures 
qu'intérieures, qui le sollicitent, soit négatif. 
». Lorsque, parsuitedela nature des déplacements possibles du système, la somme 
de travail des réactions !V, sera constamment nulle pour une certaine étenduc de 
ces déplacements à partir de la position d'équilibre, on aura tout simplement 
(4) ù EtravFo + Etravfo | > 0. 
C'est ce qui aura lieu en particulier lorsqu’en supposant les réactions AN nor- 
males aux surfaces correspondantes des corps directeurs du mouvement, ces 
derniers, ou resteront fixes, ou se déplaceront de manière à ce que les plans 
tangents aux points d'application des réactions /V restent les mêmes pour une 
certaine étendue des déplacements, à partir de la position d’équilibre. 
Si, de plus, les forces #,, F'..... ne dépendent que des distances, de même 
que fo, fo... , il y aura une fonction des forges , dont le premier membre de 
l'équation (1) sera la différentielle totale ; et l’on reconnaitra facilement que, dans 
cette hypothèse, l'équation (4) exprimera que cette fonction est un maximum; 
on retombe ainsi sur un des théorèmes de Lagrange. 
Supposons maintenant que le système matériel soit un assemblage de corps 
solides glissant les uns sur les autres, sans frottement appréciable et contre 
d’autres corps fixes, ou se mouvant de manière à ce que, comme on l’a dit plus 
haut, le terme Z#al, soit nul, on aura constamment >#avf, =0, et la condi- 
tion (3) se réduira ici à la suivante : 
(5) JStravFs < 0 
qui exprime tout simplement que la variation infiniment petite du travail élé- 
mentaire des forces extérieurement appliquées au système doit être négative. 
Si, en particulier, les forces #,, F/.....se réduisent aux actions de la pesanteur, 
en appelant P le poids total du système, et Z la hauteur dont son centre de gra- 
vité est descendu; l'équation (1) exprime que PdZ = 0, ou dZ = 0 ; c'est-à-dire 
que l'élément de la courbe, décrite par ce centre, où il se trouve actuellement, 
est horizontal; la condition (5) que l'accroissement infiniment petit de PZ est 
négatif, ou encore que Z est un maximum. On énonce habituellement ces con- 
séquences de la manière suivante : 
Pour qu'un système de corps pesants soit en équilibre stable, il faut que son 
centre de gravité soit le plus bas possible. 
7. Lorsque par suite de la nature des forces #", F7, F",... et du mouvement propre 
des corps qui dirigent celui du système, les forces #, F", F",... N, N', N”, 
reprennent la même intensité et la même direction quand leurs points d’appli- 
cation repassent par les mêmes positions , pour des déplacements d'une certaine 
étendue à partir de la position d'équilibre, la condition (3) jointe à l'équation (2) 
est suffisante pour assurer la stabilité de l'équilibre. Pour démontrer ce théorème, 
nous nous appuierons sur les deux lemmes suivants que nous établirons d’abord. 
