AO 
A 
8. 1% lemme. Soient & &, & &, & 
Us. An-1 , les éléments consécutifs 
d’une courbe décrits dans les éléments 
successifs du temps dé, par un point ma- 
térielm, qui se meut librement sous l’ac- 
tion d’une force dont l'accélération ne 
dépend, en grandeur et en direction, que 
de la position occupée par le mobile; 
Vi, V2, V3... V,, les vitesses du point 
m, relatives aux parcours de ces éléments; 
Bis Gas. @n-1, les accélérations corres- 
pondant aux positions &i, @2.... @n-1. Si 
nous supposons que la vitesse du mobile 
s’annule en a&,, on reconnaitra facile- 
ment qu'il reviendra sur ses pas en décrivant successivement , avec la même 
vitesse, les éléments a, a,_1, a! a,_2..... de la première partie de la trajectoire. 
En effet, pour que la vitesse en 4, soit nulle, il faut que V, soit égale et de sens 
contraire à l'accélération élémentaire v,_1 dt; de sorte que , arrivé en a,, le mo- 
bile n’obéissant plus qu’à l’action de la force mv,_1 se mouvra suivant la direction 
ne : de dt 
@ @,_1 de cette force, et parcourra dans l'élément dé, le chemin e, Émhore 
évidemment égal à l'élément a, &,_1 que l’on peut considérer comme ayant été 
décrit de a,_1 vers a, dans le temps df avec la moyenne as des vitesses à ses 
extrémités. 
Ainsi donc le mobile, en revenant sur ses pas, aura parcouru, en sens inverse, 
le dernier élément de la trajectoire avec la même vitesse. 
Pour compléter la démonstration du lemme, il suffit donc de prouver que si 
l’on admet que le mobile, dans son mouvement rétrograde, a parcouru les élé- 
Menis G, Qn-1, Qn-1 An—2.... Co A1, avec les vitesses V,, V,_1.... VA, arrivé en &, 
il décrira, dans l'élément de temps suivant , le chemin élémentaire a a, avec la 
vitesse V,. Or cela n’est pas difficile ; car il est clair qu’en se reportant au mou- 
vement direct de », prolongeant & a, de a, en d/, d’une quantité égale à lui- 
Var ee xt ae 
même, a’, & est égal à e: “et parallèle à +, ; d’un autre côté, pour obtenir l’élé- 
ment que le point mobile arrivé en &,, dans son mouvement rétrograde, décrira 
dans l'instant suivant , il faudra prolonger 4, à, à partir de a, jusqu'en a”, d’une 
longueur a, a”; égale à lui-même et mener par le point a”, une droite égale 
ei _— a3 a’, parallèle à a, a, et de même sens, et cette construction donne évi- 
demment le point a. 
2° lemme. Considérons un système de points matériels qui se déplacent sous 
l'action de ses attractions ou de ses répulsions mutuelles, et de forces extérieure- 
ment appliquées dont la direction et l'intensité ne dépendent que de la position 
de leurs points d'application ; si, à un même instant, toutes les vitesses viennent 
à s’annuler, chacun des points reviendra sur lui-même en parcourant dans ce 
mouvement rétrograde, avec la même vitesse, mais en sens inverse, les éléments 
de la première partie de la trajectoire. 
En effet, soient & &, & @..... ana a. les éléments successifs décrits par la 
