P.. ST CUT ÉBF GHPENEM, 
i-er Théorême. 
2. Si l’on représente par (x) la totalité des nombres premiers infé- 
rieurs à æ, par n un entier quelconque, enfin par @ une quantité >0, la 
somme 
D [r(-t)— vtr) ETS 
log x_] x1-+6 
jouira de la propriété de s'approcher d’une limite finie, à mesure que © 
converge vers zéro. 
Démonstration. 
Commencons par démontrer que la propriété en question a lieu pour les fonctions 
que l’on obtient par la différentiation successive des trois expressions 
1 1 2 1 1 1 
par rapport à @; ici, comme par la suite, la sommation par rapport à m s'étend à tous 
les entiers depuis m—2 jusquà m—@, et par rapport à w seulement aux nombres 
premiers, également depuis w — 2 jusquà u — © 
Considerons la première expression. 
e—X% 
EE 
et par conséquent 
Il est facile de voir que l'on a 
adx = = ———. | e *xdæ ex de ——1e “x'dæ 
mi+e ? 
o o RCA 
| # J pre Là » % 1 
En vertu de cette équation la dérivée d’un ordre quelconque n de 2 
1 
FH lE 
rapport à @ sera égale à une fraction, dont le dénominateur est [ /7e *xfdx]"*? et le 
numerateur une fonction entière des expressions 
œ/ 1 1 5 œ, 1 1 œ/ 1 1 
LR BR me NE PU NS Prior 
;h (+, —)e a'dæ, J — —)e “ logædæ, | == = )e x'log”xdæ,... 
Ris —x Q n —X% © —X,,,0 LL WU 2 
He (OE = æ°log”xdzx, fe xtdæ, f'e z'logæde, fe x log”ædæ , ... 
.œ 
MD AE Î ex log”"xdx. 
O 
Or, une telle fraction, pour n —0 aussi bien que pour n > 0, s'approche d'une 
ù 2] 
limite finie à mesure que o converge vers zéro; car la limite de l'intégrale / e “ætdx 
a: 
pour 6 — 0 est 1, et les intégrales 
