Sur la totalité des nombres premiers inférieurs à une limite donnée. 143 
À œ mL e—“*x"dx , À ee 5 ——) e—*ælogærdz , du +) “atlog oder, 
f ES) GE fe Ta logrdr, fe e'atlog”de,.……. f eat log"æde 
pour e — 0 conservent évidemment des valeurs finies. 
(| 
mi+eQ 
cessives, resteront finies à mesure que @ convergera vers la limite zéro. 
Ainsi, il est certain que la fonction Z — : aussi bien que ses dérivées suc- 
Considérons actuellement la fonction 
logo — Z'log (1— a) 
On sait que 
; 1 ; 6 CODE SE SES 1 1 
d'où l’on tire 
1285 ça 288 A 1 )—lo fl LL) QUE AE : Lune À cut 
SÙ Ta) le) Be) Bora are te 
équation qui, d'après la notation admise plus haut, peut être écrite de cette manière 
— Z log (1 — 5%) == log(1 + Es) 
Donc 
loge — 2 log (1 — 4) — log (4 + E +) 0, 
où bien : 
loge — Slog (1 — 575) = log [i+e+(s — +) el 
Cette équation fait voir que toutes les dérivées de logo—>Z as =) suivant 9, 
s’exprimeront au moyen d'un nombre fini de fractions, dont les dénominateurs seront des 
puissances entières et positives de AN dE à aie RE —e; et les numérateurs des 
Êe 
fonctions entières de @, de l'expression Z er 
Or, de telles fractions s'approcheront d’une limite finie à mesure que @ convergera vers 
. et de ses dérivées par rapport à © 
; = L 1 
zéro ; Car l'expression 1 + 0 + ( © 
; Ca pression 1 + 0 ( IF 
fractions, tendra vers la limite 1 à mesure que © s’approchera de zéro, et cela parceque 
ro: 1 1 
la différence = mp dans cette hypothèse, reste finie comme nous l'avons dé- 
1 ; ; : 
=) @, qui entre dans les dénominateurs de ces 
montré plus haut. Quant à ce qui concerne les numérateurs, comme ils ne contiennent 
cp: ui 1 es à ; 
la différence her cs fes T ‘ses dérivées que sous forme entière, et que ces fonctions 
