Sur la totatié des nombres premiers inférieurs à une limite donnée. 145 
ou bien, ce qui rivient au même, avec 
Pour le faire voir il n’y a qu'à observer que le premier terme de cette différence est 
simplement égal à Z an parceque le facteur œ(x+-1) — (x) de ses se réduit, 
par la définition même de la fonction œ, à 1 ou à 0 suivant que x est un nombre pre- 
X—D@ - 
k ; OP PE Dos e 
mier ou un nombre compose. Quant au second terme À Se ; il se transforme évi- 
En 
demment en € © ae gs par le changement de x en m. 
De cette manière la proposition que nous avions en vue de démontrer, se trouve 
complètement établie. 
$ 3. Le théorême dont on vient de donner la démonstration conduit à plusieurs 
propriétés curieuses de la fonction qui détermine combien il y a de nombres premiers, 
4 
inférieurs à une limite donnée. Et d’abord observons que la différence 
. 1 1 X+-1 dx 
| log 3% [ log d 
pour x très grand, est une quantité infiniment petite du premier ordre par rapport à ne 
€ 
( sl rene dé \ log”x 
log x me log =) x +6? 
æ 
par conséquent l'expression 
n , u Ge FER 
pour æ très grand, sera de l’ordre 2 + 0 relativement à — ; d'après cela, la somme 
417 D 
. care 1 2 ( dx log x 
HA log x TU 10p =) x 
pour des valeurs de © non-inférieures à zéro, restera finie. Ajoutant cette somme à 
l'expression 
ds Lo(æ+1) — (x) — ll ee 
en” 2 log x z+6? 
pour laquelle le théorême I-er a lieu, nous concluons que la valeur de 
2 [r@+1)— — gl) [TETE 
æ logx 
"= 
restera finie à mesure que @ convergera vers la limite zéro. De là on tire le théorème 
suivant: 
