(ETS P. TCHEBYCHEFF, 
XI-ème Théorême. 
La fonction (x), qui désigne combien il y a de nombres premiers infé- 
rieurs à æ, satisfera, entre les limites x—2 et æ—x, une infinité de 
fois aux deux EN ae 
ax ar 
TOR HET log’?x = He rate TT jognx . 
quelque petite que soit la valeur de «, supposée positive, et quelque 
grand que soit en même temps le nombre n. 
Démonstration. 
Nous nous contenterons de démontrer l'une de ces deux inégalités, parceque l’autre 
s'établira tout-à-fait de la même manière. NE par exemple, la suivante: 
À RE ere er Oce F1 me dx 
log x 2 
Pour prouver que cette . est satisfaite une infinité de fois, admettons d’abord 
que le contraire ait lieu, et voyons quelles seront les conséquences de cette hypothèse. 
Soit a un entier supérieur à e” et supérieur en même temps au plus grand nombre qui 
satisfait à l'inégalité (1). Dans cette ne on aura pour æ>a l'inégalité 
COPINE Frs Lx? logx>n, : 
et par conséquent 
x du ax 
(9j EPS PO Ef ere her de 
Or, si l’on admettait les inégalités (2), il en résulterait, contrairement à ce qui a été 
démontré plus haut, que l'expression 
4 =@ D 27: loc x 
7 ARRETE RE = AT 
5 E [o(x+1) px) x log -] at+e? 
au lieu de converger vers une limite finie pour des valeurs très petites de ©, s'approche- 
rait de la limite + co. En effet, nous pouvons considérer cette expression comme la 
limite de 
PS a rallonge 
E [ote+ 0 — pt) — fn fetes 
pour $ — . es donc s > a, cette quantité peut être mise sous la forme 
à É ) YH1 de 7 loge 
hs C+ Æ (re+ 1) — px) is be -] SE 
en faisant pour abréger 
T=4 CREME ET 
CE ÉORNETOEE =] 2 
LX— 
et observant que C désignera une quantité finie pour 0 — 0 et 0 > 0. 
