148 B; TCHEBYCHEFF, 
or, cette dernière expression est évidemment supérieure à 
' TS 1 
F+a (4 ——)2?27 —-— 
ER AE +8 
laquelle, pour s— , se réduit à \ 
D pe—1X 
LD ‘ FT x°dx 
_ SR o 
F+ a (1— = _. ER F+ a(1 Fr Re 
o 
Il est facile de faire voir que la quantité à laquelle nous sommes parvenus converge vers 
la limite + oo pour pe —0. En effet, on a d'abord [ = dx — +09, 4 ee dz=1, 
de plus «& et sont toutes deux des quantités positives, la première par hypothèse, 
et la seconde en vertu de la dernière inégalité (2). 
Nous étant assurés de cette manière que, dans l'hypothèse admise, non seulement 
la somme 
T=œ C1 dx 7 log”x 
Z [a +1) — p(x) — — f Fa ZE 
2—=a “2 
mais aussi une quantité plus petite qu’elle se réduit à co, nous sommes en droit de 
conclure que l'hypothèse en question est inadmissible, d'où découle de suite la légitimité 
du théorême IT. 
$ #. Il sera facile actuellement, en vertu de la proposition précédente, de démontrer 
le théorême qui suit: 
EII-ème Théorème, 
x . Ê . , . , 
———logx, pour æ—o, ne peut avoir une limite différente 
L’ . “ 
expression s@) 
de — 1. 
Démonstration. 
Soit L la limite de la différence LC — log x pour æ—co. Dans cette hypothèse on 
pourra toujours trouver un nombre N tellement grand que pour æ > N la valeur de 
—_— logæ sera comprise entre les limites L—e et L-+#, & étant aussi petite qu’on 
px) 
voudra. Ainsi, pour de semblables valeurs de æ, et lorsque & > 0, on aura 
s—lgæ>L—e, mn —lBgr<L+e, 
Mais, en vertu du théorême précédent, les inégalités 
dx ax dE 
ga) > f° log x - 7 Jogfx”? p\æ) 31) se 
og x log log z Æ 
