Sur la totalité des nombres premiers énférieurs à une limite donnée. 149 
sont satisfaites par une infinité de valeurs de æ, et par conséquent aussi par des valeurs 
de æ supérieures à N, pour lesquelles les inégalités (k) ont lieu. Or, ces inégalités, 
combinées avec celles que nous venons d'écrire, conduisent à 
T A1 
ES ae OS ALL + 13, Frais © apr tine é 
[+ logz log”x : logz ‘ lg”x 
d’où l'on tire 
— (log RE 1) (FE log x 7 log” 5) 
Lab je dx ax 
+ E, 
Jogz  log'r 
az 
rs log æ A) Lu DE EE 
[EE dx 
log x eo 
On voit par ces inégalités que la valeur ne de L+1 ne surpasse pas celle 
de l’une des expressions qui en forment les seconds membres. De plus comme & peut de- 
venir aussi petite qu'on voudra dans hypothèse de N très grand, on peut en dire autant 
de chacune des quantités 
æ—(logæx—1 (LE Fr, #E Jogt La 
SR NE D ne RU NO € 
x dx RE à , 
# Fes ne 
car, pour æ—©, on trouve par les principes du calcul differentiel, que leur limite 
commune est zéro. Nous étant ainsi convaincus que les limites de la valeur numérique 
de: L+-1 peuvent être diminuées à volonté, nous sommes en droit de conclure que 
L+1—0, et par conséquent L——1, ce qu'il sagissait de démontrer. 
L+1> 
Ce que nous venons de prouver relativement à la limite de la valeur de a — logs, 
pour æ—®, ne s'accorde pas avec une formule donnée par Legendre pour déterminer 
approximativement combien il y a de nombres premiers inférieurs à une limite donnée. 
D'après lui la fonction œ(x), pour x très grand, est exprimée avec une approximation 
suffisante par la formule 
PE) = log x — 1,08366 
qui donne pour la limite de lez le nombre — 1,08366 au lieu de — 1. 
$ 5. En partant du théorême II on peut déterminer la limite supérieure du degré 
de précision avec lequel la fonction, désignée par (x), peut être in par toute 
