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autre fonction donnée f(x). Dans ce qui va suivre nous comparerons la différence 
f(x) — p(x) avec les expressions 
nc) 2,.? 3 
logx° log2x logÿr 
et, pour abréger le discours, nous dirons que À est une quantité de l’ordre En 
, x , I, 7 ’ 
quand le rapport de 4 à jynr» Pour æ—%, sera infini pour m > n et zéro pour 
m<n. Cela posé, nous allons démontrer le théorême suivant: 
EV-me Théorème. 
en (F(&) ar 1) 
pour æ—, a pour limite une quantité finie ou infinie, la fonction f(x) 
Quand l’expression 
’ #7 , LA . 
ne peut représenter (x) exactement en quantités de l'ordre PAT inclu- 
sivement. 
Démonstration. 
Soit L la limite vers laquelle converge l'expression 
log?x (Ce 
- (F(a) al — 
à mesure que æ s’approche de l'infini. Comme L, par hypothèse, est différente de zéro, 
elle ne pourra être égale qu'à une quantité positive ou négative. Supposons la positive; 
notre raisonnement s’appliquera sans difficulté au cas de L < 0. 
Si la limite Z de l'expression que nous considérons, pour æ — ©, est supérieure à 
zéro, nous pourrons trouver un nombre N assez grand et tel que, pour x > À, la valeur 
REE (Fa) Lis [SE & 
reste constamment supérieure à une certaine quantité positive Z. Nous aurons donc 
pour æ > N 
Core re RATIO us 5 (F(&) — 
: + L . l 
* Mais, en vertu du théorème IT, quelque petit que soit « —-, nous aurons pour un 
de l'expression 
EU. 
[EE æ 
nombre infini de valeurs de æ l'inégalité 
DRE COS Ed 
qui donne 
Cr F f(æ) dis p(x) bi Pa fe 
