Sur la totalité des nombres premuers inférieurs à une limite donnée. 151 
Ê de l 
en la multipliant par __ et observant que « —-, on trouve 
log "x F dx log x l 
ETF LE < ETF —-ee]+r 
ou bien, en vertu de l'inégalité (5), 
los 
ET ff (&) — pa) > + 
TL 
Or, cette inégalité ayant lieu en même temps que celles marquées par les numéros 
‘ LR x l ae 
(5) et (6) pour une infinité de valeurs de æ prouve, à cause de — >> 0, que la limite de 
ET [f{x) — p(x)], 
pour æ— co, ne peut pas être égale à zéro. Si donc cette limite est différente de zéro, 
la différence fx) — (x), d'après la convention établie plus haut, est une quantité de 
l’ordre D ou d’un ordre inférieur; par conséquent f(x) diffère de œ(x) d'une quan- 
g". 
L2 LA , T Li 21 . A Lu - . 0 # 
tité de l'ordre ——, ou bien d’un ordre inférieur, ce qu’il sagissait de démontrer. 
D 
En nous basant sur ce théorème, nous pouvons faire voir que la formule de Legendre 
2 À 
loge — 1106566 ” pour laquelle la limite de l'expression 
En 2 Fi dx 
& log x — 1,08366 2 log«x) ? 
quand æ — co, est égale à 0,08366, ne peut exprimer (x) avec un degré de précision 
Û , 1! , X . . 
allant jusqu'aux quantités de l'ordre — inclusivement. 
g2 
On trouve avec la même facilité les valeurs des constantes 4 et B telles que la 
von ee PUUSe représenter (x) avec une précision poussée aux quantités de 
l'ordre PL inclusivement. En vertu du théorème précédent de telles valeurs de {ét B 
doivent satisfaire à l'équation 
: log?2x x DAS 
lim. [ z (Grensmeuil. Labs = 8; 
= 
Le dévelloppement de. FE donne 
£ 4 zx B x B? x 
Abgz+8 Ales Alogzr  Ælogz jé 
ÿ Et € dx à 
De plus, intégrant Ne jy Par parties, on trouve 
| 2 
Tdi LE æ x dx 
f 7, +2/ TTL IT C. 
log x Fe logz TL log? 
