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En vertu de ce qui vient d’être trouvé l'équation précédente se réduit à 
7" Flog An PME B2 0 a # æ dx 
dim. | x (a à logz 4? “Iog2x ! 45 logéx ‘*"*  Llogr  logr 2 2 log Sri c)] … 0, 
ou bien 
, 1 BR BA log2x FT dx log 2 
tim[ (5—1)loge— (+1) pe —2 = : RE TTÈrE Me 0. 
Or, si l’on observe que tous les termes à partir du troisième convergent vers zéro 
pour des valeurs croissantes de æ, on verra immédiatement qu'on ne peut satisfaire à 
l'équation précédente qu’en faisant = — 10, + 1—=0,.d'où {= 4 Re — Tr: 
L e Li s LA TZ . 
Ainsi, de toutes les fonctions de la forme Fes la seule ere peut exprimer g{x) 
: LA CIE LA e À L A _ . 
avec une précision poussée aux quantités de l’ordre 57 inclusivement. 
D 
$ 6. Démontrons actuellement un théoréme concernant le choix de la fonction qui 
détermine, avec un degré de précision requis, la fonction que nous avons représentée 
par p(x). 
V-ème Théorème. 
Si la fonction (x) qui désigne combien il y a de nombres premiers infé- 
rieurs à æ, peut être représentée algébriquement avec une précision 
poussée aux quantités de l’ordre LE inclusivement au moyen des fonc- 
tions æ, logæ, e*, alors elle s’exprimera par la formule 
$ 2 
x A0 PA 1.2.3....(2—1)x 
log z io 4x log apr due log”x ° 
Démonstration. 
Soit f(æ) la fonction qui, contenant sous forme algébrique æ, logæ, e*, exprime (x) 
. , 7 , x . . , Ê 
exactement jusqu'aux quantités de l’ordre Ge inclusivement; l'expression 
log”x EN À D LES 1 0x 1.2.3... (n—1)r 
> [f(æ)  dogz log?  Jogz log x ] 
pour des valeurs croissantes de x, devra converger soit vers zéro, soit vers une limite 
finie ou infiniment grande. En effet, s’il n'en était pas ainsi, la première dérivée de cette 
expression changerait de signe une infinité de fois pour des valeurs de x croissantes jus- 
qu'à + 00, ce qui ne peut arriver, comme il est facile de s’en assurer, avec une fonction 
algébrique de æ, logæ, e*. *) 
*) Il est très facile de s’assurer qu’une fonction algébrique de x, logæ, e* cesse de changer de signe pour 
une valeur de x surpassant une certaine limite, Si la fonction dont il s’agit est entière, alors son signe 
