Sur la totalité des nombres prenuers inférieurs à une limite donnee. 153 
Ainsi, on aura nécessairement pour f(x) 
; log 7x 4 Ai 1.2x 1.2.3....(n—1)x xs 
(7): 3 lim.[ x (f(æ) 7 logz  log2r  logx M on log”2 )] —4# 
Mais, d’un autre côté, il est facile de s'assurer que 
x log’x} x 4% 4.2.x 1.9.3....(r —1)z x dx ] Epa 
dim .[ x (eee ARE il cs log”x Î te) nr ed 
XI = D 
cette équation ajoutée à la précédente donne 
lim . É= (fix) — FA re )] — L. 
T= @ 
Or, comme par hypothèse, f(x) représente q(x) exactement jusqu'aux quantités de l’ordre 
PU inclusivement, et que d'après le théorème IV cela ne peut avoir lieu si la limite de 
log”x ide 
a eee 
pour æ— ©, n'est pas zéro, on aura L —U; cela posé, l'équation (7), pour L— 0, se 
réduit à 
Le ESTCE æ dx DR D Mie) pe 
x logxz  Jlog2x  log$x log”"zx Me 
ce qui prouve que la fonction 
x A.x 41.2x pe ie RL 
log PL log 2x * log 1. au nt Aa log”x 
ne diffère pas de fix) de quantités de l'ordre EE et d'ordres inférieurs, et que par 
D 
conséquent elle peut, aussi bien que f(x), représenter px) avec une précision poussée 
jusqu'aux quantités de l’ordre inclusivement, ce qu'il s’agissait de démontrer. 
x 
log?x 
D'après le théorème que nous venons d'établir, nous concluons que si la fonction 
g(æ) qui représente combien il y a de nombres premiers inférieurs à æ, peut être ex- 
dépendra d’un terme de la forme Xx/”.log”*'x.e”"* pour des valeurs de x plus ou moins considérables, 
‘ce terme ne changeant pas de signe pour x <1. Pour toute autre fonction algébrique de x, logz, e*, que 
nous représenterons par y, on démontrera la mème proposition de la manière suivante: observons d’abord 
que la fonction y sera racine de l'équation u,7+u plu pe un 4 + Um = 0; 
Mo, Li, Ua... Un, Un étant de fonctions entières de x, logx, e*; si l’on représente par v la fonction 
qui résulte de l'élimination de y entre l'équation précédente et sa dérivée, alors les fonctions u,, u,, et v, 
comme entières, finiront par ne plus se réduire à zéro ou à changer de signe pour des valeurs de x surpas- 
sant une certaine limite; il arrivera done que y conservera également son signe, car, pour des valeurs de x 
qui ne réduisent pas v à zéro, l'équation u,7+u,y"—1+....4+u, _jy+u,,=0 ne peut avoir de ra- 
cines égales, et quand les racines sont inégales, le signe de l'une d’elles ne peut changer qu’en supposant 
que le signe de u, ou u,, change. — Cette propriété peut être étendue à beaucoup d’autres fonctions, pour 
lesquelles, par cette raison, le théorème V ainsi que les conséquences qui s’en déduisent, auront également lieu. 
