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primée algébriquement au moyen de x, logæ, e” jusqu'aux quantités des ordres 
SE inclusivement, elle devra s’exprimer par 
es CRIE æ PR 
log x ? log x log 2x ? logz * log2c * los 5x? CE à PDA: 
De plus, comme ces sommes ne sont autre chose que les valeurs successives de l’inté- 
x dx ; hi CA T z 
grale Ÿ —— , poussées aux quantités des ordres Gex” lou2r? ous: nous sommes 
Ë 2 logx ogæx log? ? logir 
Sn 2 xd ï 
en droit de conclure que dans toutes ces hypothèses l'intégrale [ a exprimera (x) 
2 2° 
avec exactitude jusqu'aux quantités de l'ordre pour lequel elle peut encore s'exprimer 
algébriquement au moyen de æ, logæ, e”. 
Il est facile de se convaincre par les tables des nombres premiers que l'intégrale 
x & | Fe. AS 
[ ©, pour x très grand, exprime avec assez de précision combien il y a de nombres 
la log 2? 4 
premiers inférieurs à æ. Mais ces tables sont trop peu étendues pour pouvoir décider de la 
ÆT. æ 
supériorité de la formule T Fe sur la formule de Legendre Loge — 1108566 ! nee 
2 FETES 
. LU - À d 
autre analogue. Dans les limites de ces tables les deux fonctions [ _— 
2 É) 
ou sur toute 
ZT 
F log x — 1,08366 
différent peu entr’elles; mais leur différence 
(1,08366)2 
pour æ—e 008366 — 1247646, croitra constamment jusqu'à l'infini après cette valeur, 
et déjà pour æ > 10000000, aura une valeur considérable. C’est pour des nombres de 
, , CAE Gi . 
cette grandeur que l'avantage de l’une des deux formules à loge” loge — 08566 devra 
se manifester. Mais pour effectuer cette vérification il faudrait avoir des tables de nom- 
bres premiers beaucoup plus étendues que celle que l’on possède. 
“ Li ni minimum 
= -ne log x ? us. bas Pre 
$ 7. En adoptant l'intégrale f = pour la valeur approchée de (x), nous serons 
2 
obligés de changer toutes les formules auxquelles Legendre est parvenu en partant de 
l'hypothèse PU) == rés nos formules ne seront pas plus compliquées que les 
siennes, et auront sur elles l'avantage d’être plus approchées d'après les théorêmes qui 
ont été demontrés plus haut. 
Appliquons notre formule à la détermination de la somme des deux séries 
F 1 1 1 1 
ME ut: FA set +? 
(1-5) (1—5) (15... (=>) 
pour X très grand. 
