Sur la totalité des nombres premiers inférieurs à une limite donnée. 155 
Pour déterminer la somme de la première de ces deux séries, nous observerons que, 
d'après la notation admise plus haut, l'on a 
17 1 1 FT ee 0 — #0), 
Serie A pp 
x—9 4 
car œ(x) représentant la totalité des nombres premiers inférieurs à æ, la différence 
piæ+-1)— px) se réduira à zéro toutes les fois que æ sera un nombre composé, et à 1, 
quand x sera premier. 
Supposons X très grand, et désignons par À un nombre inférieur à X, mais assez 
grand cependant pour que la fonction q(æ), entre les limites æ — 7 et x — X, puisse 
À : ’ . . d. 
être représentée avec une exactitude suffisante par l'intégrale / -—. Dans cette hypo- 
log x 
1 205) 
thèse l'équation précédente pourra s’écrire de cette manière: 
1 on 1) — p(: _ 
Re 0) rh vo) 
É ï ë : 1? * LA É 
À: X x 
Remplaçant dans la dernière somme œ(x) par 7 L on aura 
2 D 
ne dx 
— 11 —X 
À F 414) — p(: 
ete si Hé er en 
2x—9 à x=À 
1 
+ ER 
F1 x 
»e » +1 d. a a ’ ñ 1 . , û 
Or, l'intégrale Î de peut être représentée avec exactitude par ge JUSQU aux quanti- 
# g. 
D 
’ es 1 1 x ; Dr: X d. 
tés de l'ordre —; de plus, la somme ZÆ' — peut être remplacée par l'intégrale 1 = 
x a <logx 1 xlogx 
avec le même degré de précision. 
Sous ces conditions l'équation précédente deviendra 
LÀ — 
pod 1. tétras hépez, 67 Eh), 
2 3 5 a VE S' del x 1 xlogx 
m2 d 
ou bien, effectuant l'intégration, 
CP 1 7 lo) 5@) 
Shake... 4e 2 TE — log À + log X. 
2 3 5 x—9 La { 
Enfin, si l'on remplace par C la quantité 
x—À—1 
55 p+A1) — p(x) ie llogÀ, 
æz—9 £ 
indépendante de æ, on trouvera 
1 
+ |. sg +et. += C+logX. 
Mém. des sav, étran. T. VI * 20 
