Surfaces du second degre. 317 
Lorsque, par la méthode précédente, on s'est assuré que l'équation donnée 
représente une des neuf surfaces que comprend la classe Il, le genre particulier de 
cette surface se découvrira par les règles suivantes. 
Ayant rendu le premier coëfficient Æ positif (s'il se trouve dans l'équation), 
on calculera les quatre quantités 
4kAB— D° 
1.4 CA E5 
4BC—F «& 
DEF+4,ABC—AF — BE°—ClD, 
que, pour abréger, je désignerai par 
Prat eurer elun Ss. 
Cela posé, 
1° On verra si toutes les p, g, r. s sons des quantités finies et positives. Dans 
ce cas l'équation donnée scra celle d’un e/lipsoïde. | 
2° Si une ou plusieurs des p, g, r, s sont négatives ou égales à zéro, mais 
la dernière de ces quaniilités s ne s'eanouit point, on examinera la quantité 
G (4BC—F7) + À (4AC—E”) + Æ° (44B—D°) 
+ 2GH(EF—2CD) + 2GK (DF—2BE) + 2HK (DE —24F) 
—4L(DEF+, ABC— AF —BE°—CLD?), 
qui, selon qu'elle sera négative, égale à zéro ou positive, mdiquera que 
l'équation donnée appartient à un Ayperboloïde à une nappe, à une surface 
conique où à un yperboloïde à deux nappes. 
3° Si s—o, il pourra se présenter des cas différens. Dans cette supposition 
a) Si p, g, r s'évanouissent toutes trois, la surface sera celle d’an cy/in- 
dre à base parab:lique. 
b) Si parmi p, g, r il s'en trouve qui ne s'évanouissent pas, il faut cal- 
culer le numérateur de l'une quelconque des fractions suivantes, dont 
le dénominateur ne s'évanouira pas, 
