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Si on élève en > une perpendiculaire à fd, qui coupe le côté ca en p, cette 
droite sera la commune tangente intérieure aux deux cercles. Donc pm, pg', se- 
ront égales entr'elles comme tangentes au cercle Z, et pm, pk seront égales 
entr'elles comme tangentes au cercle f. Donc les trois lignes pm, pg, pk, 
étant égales entr'elles, 7 sera dans la circonférence d’un cercle du centre p et 
du diamètre 4g. Par conséquent l'angle g’mk est droit. 
Les trois angles g'mr, mt, g'mk étant droits, il est évident que le contact 
m est l'intersection des droites #r, {g', perpendiculaires l'une à l’autre. Il s’en- 
suit que les triangles #4g, 4g/r sont semblables, et que, par conséquent, Zz com- 
mune langente exterieure kg aux deux cercles est moyenne proportionnelle entre 
leurs diamètres ki, gr. 
Les angles dpm, fpm, étant les moitiés des angles adjacents g/pm, kpm, leur 
somme, c'est-à-dire l'angle dpf, sera droit, et puisque zp est perpendiculaire à 
* df, les triangles dmp, pmf, seront semblables. Par conséquent /4 commune tan- 
gente inlerieure mp aux deux cercles est moyenne proportionnelle entre leurs 
rayons dm, fm. 
On démontre de la même manière, par rapport aux deux cercles 2, f, qui 
se touchent en /, et dont on aura mené les diamètres #5, ## perpendiculaires au 
côté bc, que les droites ##, #s, se coupant mutuellement en Z à angle droit, 
les triangles s4#, KT, sont semblables, d'où il suit que 4 commune langente 
exterieure hK aux deux cercles est moyenne proportionnelle entre leurs diamètres 
hs, KT. 
De plus, la perpendiculaire élevée en Z sur la ligne des centres, coupant le 
coté c en o, l'angle eof est droit, les triangles eo, off sont- semblables, et Zz 
commune langente interieure lo aux deux cercles est moyenne proportionnelle 
entre leurs rayons el, fl. 
où 
(Fig. r.) Joignez les points de contingence #2, et prolongés cette droite, 
jusqu’à ce qu'elle coupe la circonférence Z en w. L'égalité des angles /#m, fm’, 
