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20, Théorème, 
(Fig. 4) Dans un triangle abc etant inscrit un cercle M, qui touche les 
côtes bc, ca, ab en À, B, C, respectivement, qui coupe les secantes prolongées 
Ma, Mod, Mc en x, y, 2, respectivement, et dont le rayon est désigné par la 
lettre ©, pour abréger. Des cercks D, E, F, étant inscrits dans les triangles 
Mc, Mca, Mab, de sorle que le cercle D soit tangent à bc, Mb, Mc en o, v’, 
0’; le cercle E à ca, Mc, Ma en p, p', p'; le cercle F à ab, Ma, M6 en 
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Cela pose, la langente menée du point o au cercle E, ou du point p au 
cercle D, est égale à xg ou à yg’. La langenle menée du point p au cercle 
F, ou du point q au cercle E, est égale à yo ou à co”. La langenie menée 
du point g au cercle D, ou du point o au cercle F, est égale à zp' ou à xp”. 
Dérnonstration. 
Prenons d'abord sur les côtés ca, ab, les segmens ae — d'a — Ma, sur 
les côtés ab, bc, les segmens 88 — Bb — Mb, sur les côtes dc, ca, les segmens 
ye — ÿe — Mc. On obtient par,là 
se = Ms. oc S0"c, donc yo, ==, Mof 
Bb— Mb, ob — 06, donc Bo = Mo’. 
Or les deux tangentes Mo’, Mo”, sont égales; donc les quatre lignes sont 
égales entrelles, savoir: 
Moi Mo” = 40 = 60 
DRM = MP" = ap = ip 
Mo Me = —=iag 
1 suit de là qu'on obüent facilement les contacts 0, p, g, en fixant d'abord 
les points &, &, B, B', 7, y, et en divisant ensuite les segmens 7f”, ay, Ba’ en 
deux parties égales en 0, p, q. 
Puisque 
bo bg — Bo— Mb — fo 
oc = ÿye — yo — Mc — 0. 
